Fundamentos para el Cálculo Unidad 4: FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS Clase 4.2: Límites infinitos. Asíntotas verticales. FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 2014-1

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO ¡Reflexión! Suponga que la función costo promedio unitario, en dólares por tonelada, al producir q toneladas de arroz está dado por ¿A qué valor se acerca el costo promedio unitario cuando se produce cada vez más toneladas de arroz? La asíntota a la gráfica de una función es la recta L a la que la gráfica se acerca cada vez más mientras se aleja al infinito. FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Límites infinitos Recordemos la gráfica de Existe una recta vertical L a la cual la gráfica de f se acerca cada vez más mientras se aleja al infinito. Esto ocurre cuando x se acerca a 0. La recta x = 0 se llama asíntota vertical de la gráfica de f. FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Límites infinitos Se dice que f(x) tiene un límite infinito si f (x) aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a. Técnicamente, este límite no existe, pero se puede dar información acerca del comportamiento de la función escribiendo: si f (x) crece ilimitadamente cuando x→a si f (x) decrece ilimitadamente cuando x→a FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 4 4

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Ejemplo 1: A partir de la gráfica de la función f, halle los siguientes límites (o indique la tendencia f ): f FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 5 5

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Ejemplo 2: Determine los siguientes límites usando aproximaciones: a. b. c. FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Asíntotas verticales Una asíntota vertical está asociada con los límites infinitos, es decir cuando el límite toma la forma c/0. La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica f si se cumple una de las siguientes condiciones: FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 7 7

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Para determinar las asíntotas verticales de la función observamos que la función tendrá un límite de la forma c/0 en los valores x = 2 y x = -2. Por lo tanto: Las rectas x = 2 y x = -2 son asíntotas verticales de f. FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 8 8

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Ejemplo 3: Determine las asíntotas verticales de las siguientes funciones justifique usando límites y esboce la gráfica de la función: a. b. c. FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

Límites en el infinito para funciones polinómicas Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el infinito, se halla el límite del término de mayor grado (término dominante). Sea la función polinómica entonces Ejemplo 4: Determine el límite, si existe. a. b. FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

Límites al infinito para funciones racionales Sea la función racional entonces Es decir, para hallar el límite de un racional en el infinito, se halla el límite en los términos de mayor grado (término dominante) tanto del numerador como del denominador: Ejemplo 5: Determine el límite, si existe. a. b. c. FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

Asíntotas horizontales Se dice que la recta es una asíntota horizontal de la gráfica de f, si cuando x aumenta ilimitadamente, f (x) tiende al número real L y se escribe así: . Igualmente, se dice que la recta es una asíntota horizontal de la gráfica de f, si cuando x disminuye ilimitadamente, f (x) tiende al número real M y se escribe así: . y = f (x) y y = L y = M M L x FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Para determinar la asíntota horizontal de la función analizamos el comportamiento de f (x) cuando x tiende a +∞ y a -∞. Como y , afirmamos que la asíntota horizontal de la gráfica de f tiene por ecuación y = 2. Su gráfica se muestra a continuación. FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 13 13

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Ejemplo 6: Determine las asíntotas horizontales de las siguientes funciones: a. b. FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Ejemplo 7: A partir del gráfico de la función f mostrado en la figura, halle los siguientes límites: FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO