Hermosillo, Sonora 02/Mayo/2016 Universidad de Sonora Eduardo Tellechea Armenta

= Con el concepto de SERIE NUMÉRICA, queremos darle sentido a la SUMA de una infinidad de números reales. Pero… ¿Qué situaciones nos llevan a esto? ¿Es que acaso alguna vez hemos tenido que sumar una infinidad de números? Series Numéricas

Aunque no tengamos una definición matemáticamente precisa de cómo realizar estas sumas, no tenemos ninguna duda en que … … … tendrá un valor infinito, es decir NO se pueden sumar, en el sentido de que la suma sea un número real. En este caso diremos que la SERIE ES DIVERGENTE. También, sin lugar a dudas podremos decir que las siguientes sumas, si pueden efectuarse … = … =1 … y diremos que estas SERIES SON CONVERGENTES

… Pero, ¿qué podemos decir de la siguiente suma infinita? ¿Podríamos decir que es cero, agrupando de la siguiente manera? (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) +... = = 0 Si así fuera, también podríamos decir que toma el valor uno … 1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) -... = =1 Es razonable pedir que, si los términos de una serie se pueden sumar, el valor de la suma sea único y, en este caso, tendríamos dos posibles valores para la suma, lo cual nos lleva a concluir que esta serie no es posible sumarla. Otra conclusión inmediata es que, para sumas infinitas, no es válida la propiedad asociativa.

Volvamos a una de las preguntas iniciales: ¿Es que acaso alguna vez hemos tenido que sumar una infinidad de números? Desde la educación primaria, aprendimos que al dividir 1 entre 3, utilizando el algoritmo de la división: … …

Podemos expresar a 1/3 como un decimal infinito (periódico) O bien atendiendo la notación decimal Podemos expresar a 1/3 como una SERIE Es decir, desde nuestros primeros contactos con la aritmética ha estado presente, aunque de manera implícita, el concepto de suma infinita.

Definición: Sea una sucesión de números reales. La expresión se llama SERIE NUMÉRICA. A partir de la sucesión formamos una nueva sucesión de sumas parciales,,, … y diremos que la serie es CONVERGENTE (sus términos se pueden sumar si existe. En este caso el valor de la serie es: De lo contrario diremos que la serie es DIVERGENTE (sus términos no se pueden sumar).

El valor de la serie es el valor al que se aproximan las sumas parciales finitas Observe que la serie = … es divergente Utilizando la notación SUMATORIA

Observe que para que una serie converja, es necesario que su término n-ésimo sea cada vez más pequeño y cercano a cero, es decir, converge,  Sin embargo, la condición no es suficiente como se ve en el siguiente ejemplo: En esta serie, él término n-ésimo tiende a cero y la serie claramente es divergente.

…

1 1 rr2r2 r3r3 r4r4... r r2r2 r3r3 r4r4 r(1-r) 1-r r 2 (1-r) 1 + r + r 2 + r 3 + r 4 … = Si 0<r<1

1 + r + r 2 + r 3 + r 4 …La Serie Geométrica si |r|<1 Si partimos de la suma de una progresión geométrica de razón r El valor de la serie geométrica será: 1 + r + r 2 + r 3 + r 4 … = Este límite existe cuando -1<r<1, es decir, Así pues: 1 + r + r 2 + r 3 + r 4 … = si |r|<1

De manera totalmente análoga, podemos probar lo obtenido de manera geométrica en las áreas del cuadrado y el triángulo. y

La Serie ArmónicaLa Serie Armónica: Si consideramos la siguiente sucesión de sumas parciales (finitas) Y por lo tanto la Serie Armónica es DIVERGENTE

El Criterio de Comparación Sea con para toda n, a)Si converge y para toda n, entonces converge b) Si y para toda n, entonces Ejemplos: Converge, pues y converge. Diverge, pues y la serie diverge.

Calculando, numéricamente el valor de una Serie La Serie Geométrica La Serie Armónica La Serie del recíproco de los cuadrados de los naturales Una serie Alternante

Los Números Reales Expansiones decimales finitas. Naturales, enteros y algunos racionales Expansiones decimales infinitas Periódicas Algunos racionales No-Periódicas Los Irracionales

Cuando analizamos la Serie Geométrica Series de Potencias Encontramos que esta converge a 1/(1-x) en el intervalo (-1, 1), es decir, si consideramos a la función Su dominio será precisamente el intervalo (-1, 1) ya que ahí es donde la serie converge y por lo tanto f (x) está definida. Diremos entonces que la serie de potencias representa a la función 1/(1-x) en el intervalo (-1, 1)

A partir de la Serie Geométrica podemos generar otras series de potencias y series numéricas importantes: Ver Animación Ver Animación Cambiamos x por -x Antiderivando en ambos lados Sustituyendo x =1, obtenemos: Ver Animación

Procedamos ahora de la siguiente manera: Cambiamos x por -x Antiderivando en ambos lados Sustituyendo x =1, Ver Animación Cambiamos x por Ver Animación

El Teorema de Taylor con residuo, también nos proporciona interesantes series de potencias. Por ejemplo del desarrollo de Taylor para la función exponencial: 0 Tendremos una representación en serie de potencias Análogamente podemos representar en serie de potencias a la función seno Ver Animación

En los cursos de Cálculo Integral se menciona que la función no tiene una antiderivada representable por medio de un número finito de funciones “conocidas” En nuestros términos, podemos preguntarnos por la solución de: Antiderivando en ambos términos, obtenemos: Con y(0) = 0 Así pues la solución de la ecuación planteada se representa por medio de una serie de potencias.

Con el concepto de SERIE podemos construir nuevas funciones, ampliando así nuestro universo funcional que permitirán modelar otros fenómenos de nuestra realidad, lo que sería imposible de hacer sólo con las funciones clásicas. Clásicas: Polinomiales, trigométricas, inversas, logarítmicas, exponenciales, etc. Series de Funciones Series de Potencias Series de Taylor Series de Fourier

Muchas Gracias