Históricamente, el cálculo integral surgió de la necesidad de resolver el problema de la obtención de áreas de figuras planas. Los griegos lo abordaron, llegando a fórmulas para el área de polígonos, círculo, segmentos de parábolas, etc. El método que emplearon consistía en aproximar exhaustivamente la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonos de áreas conocidas. 2

3 Este procedimiento original de Eudoxo (406 a.C a.C.) fue utilizado esporádicamente por Euclides (hacia 300 a.C.) y de forma sistemática por Arquímedes (286 a.C a.C.). Hacia el siglo XVI de nuestra era, este método pasó a llamarse método de exhaución o método exhaustivo. Basándose en ese método, los matemáticos del siglo XVII (Newton, Leibniz, etc.) introdujeron el concepto más general de integral definida de una función, f, en un intervalo. Este concepto fue posteriormente mejorado por Cauchy ( ) y por Riemann ( ). En nuestro caso utilizaremos otros métodos de resolución como el método del Trapecio, Método de Simpson, Método del disco, Método de la Arandela, Método de los cascarones cilíndricos, etc.

4 1) Calcular el área de la región acotada por la recta y= x-1 y la parábola y²=2x+6.  Hallar el área con la ecuación A=  contrastar con El método del trapecio. El método se Simpson. 2) Calcular el volumen del cuerpo generado rotando la región intermedia entre y= x ; y= x² alrededor del eje y.

5 1)y=x-1 entonces x= y+1 Y²= 2x+6 entonces x= ½ Y² -3 (y+1) – (1/2 y ² - 3) Y+1-1/2 y ² /2y ² +y + 4 1º puntos de intersección. Y= x – 1 Y=±√(2x +6) Y=− √(2x +6) Y=+√(2x +6) 2x+6≥0 2x ≥- 6 x ≥-3

√(2x +6)=(x-1) 2x+6=(x-1) ² 2x=x ²-2x+1-6 x²-4x-5=0 X=±√(16+4.5) 2 X= 4±6 2 X=5 X=-1 ½ A= (2X+6) ^1/2 dx=1/3 (2X+6) ^3/2 = 1/3.( 2.(-1)+6) ^3/2 - 1/3.(2.(-39+6) ^3/2 = 8/3 – 0 =8/3x2 = 16/3=A1 - 3 ∫ A= (2X+6) ^1/2 –( X – 1) dx= (2X+6) ^1/2 – X +1 dx= ∫ 5 -1 ∫ 5

7 =1/3.(2X+6) ^3/2 – ½ x ² + x = 5 = 1/3.(2.5+6) ^3/2 - ½.5 ²+5 - 1/3. (2. (-1)+6) ^3/2 – ½.(-1) ²+ (-1) = 83/6 – 7/6 = 38/3= A2 SUMO A1 Y A2 A=16/3+38/3 A=18 U ² A= (Y+1)-(1/2 Y² -3)dy= (y+1 -1/2 Y² +3)dy= = (y -1/2 Y² +4)dy= 1/2 Y² -1/6 y³ +4y = ∫ ∫ ∫ 4 4

= 1/2.4 -1/ ½.(-2) – 1/6. (-2) +4.(-2) = ²²³³ = 40/3 – (-14/3) = 18 A= 18 u ²

2) Y= X Y= X ² Alrededor del eje x Método de la arandela. X =x X - x=0 X (x-1) X=0 ² ² X-1=0 X=1 V= П f(x) – g(x) ∫ a b ² ² V= (x – x ) dx =(x /3 – x /5) = (1 /3 – 1 / 5) – (0 /3 – 0 /5)П ∫ ² V=2/15 u П 3

Y= X y=(√y) V= П f(x) – g(x) ∫ b a ²² V= П (√ y) ∫ 0 1 ² - y )dy ² V= П (y /2 – y /3) = 1/6 П ² 0 1 V= 2 П f (x)dx b a ∫ * ² Y= X Y= X V= 2 П x (x - x ) dx= 1 0 ∫ ² V= 2 П ( x /3 - x /4) =2 (1/4 -1/3) = 2. 1 /12 =1 /6 = 3 34 ПП V= 1/6 П