Copyright © Cengage Learning. All rights reserved. 5 Trigonometría Analítica Texto: Precalculus Real Mathematics Real People

Copyright © Cengage Learning. All rights reserved. 5.2 Verificando Identidades Trigonométricas

3 Hoy aprenderás a Verificar identidades trigonométricas Distinguir una identidad vs. ecuación Usar algebra con expresiones trigonométricas: Factorizar Hallar denominador comun Sumar expresiones racionales

4 Identidades Trigonométricas

5 Identidades Trigonométricas Básicas Hay muchas relaciones entre las funciones trigonómetricas o identidades.

6 Identidades Pitagóricas

7 Ejemplo 1 – Aplicar Identidades Trigonométricas Sea  un ángulo agudo tal que cos  = 0.8. Halla los valores de (a) sin  y (b) tan  usando identidades trigonométricas. Solución: a. Usar la identidad de Pitágoras (también conocida del círculo unitario) para hallar sin  sin 2  + cos 2  = 1. sin 2  + (0.8) 2 = 1. Por sustitución de 0.8 por cos .

8 Ejemplo 1 – Resolver para sin  sin 2  = 1 – (0.8) 2 sin 2  = 0.36 sin  = sin  = 0.6 Resolver: Restar (0.8) 2 Hallar raiz cuadrada Simplificar. Cont.

9 Ejemplo 1 – Solucion b. Conociendo seno y coseno de , puedes hallar tangente de  tan  = Repasando las definiciones de sin  y tan  del triangulo verificamos los resultados. cont’d

10 Verificar identidades trigonométricas Hoy aprenderás estrategias algebraicas para verificar identidades trigonométricas. Luego aprenderemos a resolver ecuaciones trigonométricas. La clave para verificar identidades y resolver ecuaciones es desarrollar tu habilidad para usar las identidades fundamentals y las reglas de algebra para re-escribir las expresiones trigonométricas.

11 Ecuación vs. Identidad Una ecuación (condicional) es cierta para algunos valores del dominio solamente. Por ejemplo, la ecuación condicional sin x = 0 Es cierta solo para x = k  donde k es un entero (k  Z). Cuando hallas estos valores, has “resuelto” la ecuación. Ecuación Condicional Los ceros o valores de x tienen que tener esta forma

12 Verificar identidades trigonométricas Por otro lado una identidad es cierta para todos los números reales x. Por ejemplo, la identidad de Pitágoras sin 2 x = 1 – cos 2 x es cierta para todo número real x. Por eso se llama una “identidad”. Identidad

13 Verificar identidades trigonométricas Guia para Verificar Identidades trigonométricas 1.Trabaja un lado de la ecuación. Escoge el lado mas complicado. 2.Busca oportunidades para factorizar expresiones, cuadrar un binomio, crear monomios en denominador, sumar fracciones 3.Usa las identidades fundamentals. Observa el otro lado de la identidad y busca identidades que contengan estas funciones. 4.Si No hay otras opciones, cambia todo en terminus de seno y coseno 5.Trata algo, pues aun cuando No encuentras la solución a la primera, puedes encontrar otras formas que ayudan.

14 Ejemplo 2– Aplicar Identidades Trigonométricas Lado derecho (mas complejo) Identidad Pitagórica Dividir

15 Ejemplo 3– Aplicar Identidades Trigonométricas Lado izquierdo (mas complejo) Identidad Recíproca Sumar Fracciones con Denominador Común Identidad Pitagórica

16 Ejemplo 4 – Aplicar Identidades Trigonométricas sin(x)cos 2 (x) – sin(x) = – sin 3 (x) sin(x) (cos 2 (x) – 1) – sin(x) (1 – cos 2 (x)) – sin(x) (sin 2 (x)) – sin 3 (x) = – sin 3 (x) Lado izquierdo (mas complejo) Factorizar “sin(x)” Cambiar el signo al paréntesis Identidad Pitagórica Multiplicar

17 Ejemplo 5 – Verifca la Identidad Trigonométrica Verifica la identidad. Solución: Comienza con el lado izquierdo - más complicado. Identidad de pitágoras para tangente

18 Ejemplo 5 – Solución tan 2  (cos 2  ) sin 2  = sin 2  Simplifica. Cont. Identidad de Recíprocos Identidad de cocientes Simplifica.