Integrales VI Sesión

¿Qué áreas sabes calcular?

¿Qué pasa si el contorno NO es regular?

Integral de Riemann

Calculemos áreas bajo las curvas Sea y = 2 una función, ¿cuál es el área bajo la curva cuando x recorre el intervalo [0.5, 3]?

Observamos que se forma un rectángulo debajo de la gráfica de la función, por lo tanto sólo se deben determinar sus dimensiones. Alto = 2 Ancho = 2.5 Área = (2)(2.5) = 5

Tomando el mismo intervalo, cambiemos de función. Ahora calculemos el área bajo la curva de la función y = x en el intervalo [0.5, 3] ¿Cómo lo harías?

Posibles soluciones: Al área del triángulo de lado 3, restarle el área del triángulo de lado 0.5: menos = 4.5 – 0.125 = 4.375

Al área del cuadrado de lado 3 restarle el área del cuadrado de lado 0 Al área del cuadrado de lado 3 restarle el área del cuadrado de lado 0.5 y al resultado dividirlo entre 2: menos = 9 – 0.25 = 8.75 8.75/ 2 = 4.375

Con ambas funciones y = k, y = kx recurrimos al cálculo de áreas de figuras conocidas. ¿Cómo lo harías si la gráfica de la función no tiene lados rectos? Es decir, la forma de la gráfica es curveada. Por ejemplo y = x2 , en el intervalo [0,3]:

Para una gráfica “curveada” utilizaremos el método de Riemann (vamos a tapizar el área bajo la curva con rectángulos, entre más pequeños mejor)

Observamos que la suma de los rectángulos azules nos da como resultado un área MAYOR a la que nos piden calcular. De igual manera, la suma de los rectángulos rosa nos da como resultado un área MENOR a la solicitada. Por lo tanto si hacemos los rectángulos (azules o rosas) más finos entonces esta diferencia que existe entre el área REAL bajo la curva y el área de la suma de los rectángulos será cada vez menor.

¿En qué momento encontraríamos el área real? Cuando los rectángulos sean tan, tan, tan… pequeños que su base sea sólo el punto en donde parten y su altura la función evaluada en ese punto.

Pero éste sería un proceso INFINITESIMAL, ya que existen una infinidad de puntos dentro del intervalo [0,3]. Así que debemos encontrar alguna manera de expresar toda esta situación, es decir: Expresar el área bajo la curva como una suma infinita de rectángulos.

Componentes de la Integral Se representa por ∫ f(x) dx. ∫ es el signo de integración (una letra “S” estilizada, de suma). f(x) es el integrando o función a integrar (altura de los rectángulos) dx es diferencial de x (base de los rectángulos) e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Definiciones Una integral es una suma de infinitos sumandos –áreas de rectángulos-, infinitamente pequeños. Una integral es el área dentro de una curva. La integral es la operación inversa a la derivada, por esto también se le denomina como antiderivada (Teorema Fundamental del Cálculo).

¿A quién derivamos entonces? Función Derivada Antiderivada y = 5x y´= 5 ∫ 5 dx = 5x + ¿? y = 5x + 4 y = 5x – 10 y = 5x +  Según la anterior definición, podemos decir que la integral de 5 es 5x+3, ó 5x-2 o bien 5x. Por ello se abrevia diciendo que la integral de 5 es 5x mas una constante: ∫5dx = 5x + c