MODELOS LINEALES ALGEBRA DE MATRICES Uso de MatLab

En diversos problemas de economía se debe resolver un sistema de ecuaciones que, si son lineales, pertenecen a un área de la matemática llamada Algebra Lineal. El análisis input-output es un área de la economía que usa los sistemas de ecuaciones lineales (Wassily Leontief “The Structure of American Economy”, 1919-1939”)

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: Generalmente, en la mayoría de los modelos matemáticos con aplicación en economía, termina por aparecer un sistema de ecuaciones que debemos resolver. Si las ecuaciones son lineales, entramos al área del álgebra lineal.

VECTORES DEFINICION: Conjunto ordenado de números que se distingue no sólo por los elementos que contiene sino por el orden en que se colocan Vector fila Vector columna

Operaciones con vectores Suma de vectores: Si a y b son dos n-vectores a+b se obtiene: Multiplicación por un escalar: Si a es un n-vector y t un número real:

Operaciones con vectores Combinación lineal: Si a y b son dos n-vectores y t y s son escalares: Se llama combinación lineal de a y b

Operaciones con vectores Producto escalar de dos vectores: El producto escalar de dos n-vectores y Se define por la expresión:

Propiedades Si a, b y c son n-vectores y  es un escalar, entonces: a’ . b = b’. a a’ . (b + c) = a’ . b + a’ . c (a’) . b = a’ . (b) = (a’ . b) a’ . a  0  a ≠ 0 La longitud o norma de un vector, que se designa es: ó

Propiedades Ortogonalidad: Se define la distancia euclideana entre dos n-vectores como: Ortogonalidad: Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de 90º:

Interpretación geométrica Se puede dar una interpretación geométrica del producto escalar de dos vectores en términos del ángulo  comprendido entre ellos: x y  a b con Bibliografía: MATEMATICAS PARA ANALISIS ECONOMICO

MATRICES DEFINICION: Arreglo rectangular de números ordenados en filas y columnas Se dice que la matriz tiene orden

Los números que forman A se llaman elementos designa el elemento en la fila i-ésima y en la columna j-ésima Por simplicidad la matriz se indica por:

Operaciones con matrices Igualdad de matrices: y ; Si Se dice que son iguales cuando Suma de matrices: Multiplicación por un escalar: es real,

Propiedades Sean , y (A+B)+C = A+(B+C) A+B = B+A A+O = A A+(-A) = O (A+B) = A+B

Operaciones con matrices Multiplicación de matrices: Sean y . El producto C=AB es la matriz cuyo elemento en la fila i-ésima y en la columna j-ésima es el producto escalar de la fila i-ésima de A por la columna j-ésima de B

Operaciones Sean A=(aij)mxn y B =(bij)nxp. El producto C=AB es la matriz C =(cij)nxp cuyo elemento en la fila i-ésima y en la columna j-ésima es el producto escalar de la fila i-ésima de A por la columna j-ésima de B:

Propiedades (A.B).C = A.(B.C) A.(B+C) = A.B+A.C (A+B).C = A.C+B.C Sean A, B y C matrices con dimensiones adecuadas para que estén definidas las operaciones que se indican (A.B).C = A.(B.C) A.(B+C) = A.B+A.C (A+B).C = A.C+B.C

Matriz traspuesta Se obtiene de intercambiar las filas por las columnas: Propiedades: (A’)’=A (A+B)’=A’+B’ (A)’=A’ (AB)’=B’A’

Matriz simétrica Matriz cuadrada con la propiedad de ser simétrica respecto a la diagonal principal: Ejemplos: ; ;

Inversa de una matriz Dada una matriz A de orden (nxn), si existe una matriz X tal que decimos que X es una matriz inversa de A Sólo las matrices cuadradas pueden tener inversa, pero no todas las matrices cuadradas tienen inversa. Una matriz A cuadrada tiene inversa

Propiedades de la inversa Sean A y B matrices invertibles n x n: A-1 es invertible y (A-1)-1=A A.B es invertible y (AB)-1=B-1A-1 A’ es invertible y (A’)-1=(A-1)’ (cA)-1=c-1 A-1 si c es un escalar ≠ 0

Determinantes El determinante de una matriz A(nxn), es un escalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, se designa como |A|. Aij (cofactor) es el resultado de eliminar la fila i y la columna j de la matriz original.

Valores y vectores propios Si A es una matriz de nxn, decimos que el escalar  es un valor característico de A si existe un vector no nulo xRn tal que Ax= x Cálculo: Este sistema tiene una solución no trivial x0 si y sólo si la matriz de los coeficientes tiene determinante igual a 0

Resumen Introducción El entorno de trabajo de MatLab El Escritorio de Matlab (Matlab Desktop) El menú inicio Command Window Command History Browser

Introducción MatLab es un asistente matemático de gran capacidad para el cálculo y la visualización. Su nombre proviene de las palabras Matrix-Laboratory. Aunque fue desarrollado inicialmente (1984) para el trabajo exclusivo con matrices también puede trabajar con escalares (reales y complejos) así como con cadenas de caracteres.

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Definición de vectores y matrices Las matrices son un tipo común de variable que se emplea en la mayoría de los lenguajes de programación. Por convención emplearemos mayúscula para representar matrices y minúscula para vectores y escalares.

Definición de vectores y matrices Las matrices se definen por filas, los elementos de la fila se separan por espacios o comas (,) mientras que las filas van separadas por punto y coma (;) Ejemplos: A=[1,2,3; 4,5,6; 7,8,9] B=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] Se ve en pantalla:

Definición de vectores y matrices Los vectores son casos particulares de matrices donde el número de filas o columnas es igual a 1. Ejemplos: Vector fila Vector columna

Operadores Las matrices se operan a través de operadores o funciones: + Suma - Resta * Multiplicación ‘ Traspuesta ^ Potencia / División (derecha) \ División (izquierda) .* y .^ Mult. y Potenciación elemento a elemento ./ y .\ Div. (derecha y izquierda) elemento a elemento

Operadores relacionales < Menor que <= Menor o igual a > Mayor que >= Mayor o igual a == Igual a ~= Distinto de

Operaciones El producto escalar de dos n-vectores se define por la expresión: a . b’ Ejemplo: >> a=[1,2,1] a = 1 2 1 >> b=[-3,0,2] b = -3 0 2 >> a*b' ans = -1

Operaciones Si A y B son dos matrices de orden mxn, se define la suma como: Ejemplo: >> A=[1,2,3;5,-3,1] A = 1 2 3 5 -3 1 >> B=[0,1,2;1,0,2] B = 0 1 2 1 0 2 >> A+B ans = 1 3 5 6 -3 3

Operaciones Si A es una matriz de orden mxn y t es un escalar, se define t.A como: Ejemplo: A = 1 2 3 5 -3 1 >> t=3 t = 3 >> t*A ans = 3 6 9 15 -9 3

Aplicación Se busca la solución del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas:

Aplicación Forma matricial del sistema: Solución:

Cálculo de valores y vectores propios Ejemplo >> A=[1 2 3 4;0 -1 2 4;0 0 3 -1;3 6 -9 12] A = 1 2 3 4 0 -1 2 4 0 0 3 -1 3 6 -9 12 >> [X,D]=eig(A) X = 0.2796 0.0040 -0.9299 -0.8729 0.2220 0.9105 0.3610 -0.2182 -0.0771 -0.0686 0.0215 -0.4364 0.9309 -0.4078 0.0673 0.0000 D = 15.0773 0 0 0 0 -2.9421 0 0 0 0 -0.1353 0 0 0 0 3.0000