Conjuntos numéricos Números irracionales y reales Segundo Medio

𝟎,𝟓 𝟎, 𝟐 𝟎,𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓… Indagación Observa los siguientes números ¿Qué regularidad numérica observas en la parte decimal? ¿Cómo se expresan los números en forma fraccionaria? ¿Por qué crees que el número que está en el recuadro azul no se puede expresar como fracción? 𝟎,𝟓 𝟎, 𝟐 𝟎,𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓…

Objetivo de la clase Comprender la existencia de los números irracionales por medio de la geometría.

Un poco de historia… Para los pitagóricos, toda la naturaleza estaba determinada por números enteros o fracciones de enteros (lo que nosotros conocemos como números racionales). Hasta que un día, un estudiante de esta escuela llamado Hipaso descubrió y demostró la existencia de otra clase de números: los números inconmensurables o irracionales. En matemática, la conmensurabilidad es la característica de dos números conmensurables. Dos números reales,  y , que no sean cero, son conmensurables sólo cuando larazón (a/b) es un número racional. Si la razón de a/b es irracional, entonces se dice que es inconmensurable

¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1? Un poco de historia… Probablemente, Hipaso se encontró con los números irracionales resolviendo problemas muy parecidos a estos: ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1?

¿Cuál crees que es el valor de 𝒙? Para determinar el valor de 𝒙 ubicaremos el cuadrado sobre la recta numérica y también la diagonal: ¿Cuál crees que es el valor de 𝒙?

¿Cuánto crees ahora que mide? Si hacemos un acercamiento en la recta numérica, podemos tener una mejor aproximación. ¿Cuánto crees ahora que mide?

Haciendo uso de sus conocimientos, La Escuela Pitagórica calculó la medida de la diagonal utilizando el Teorema de Pitágoras. ¡Calcúlalo!

Ese punto en la recta no es nada menos que

Con tu calculadora, determina el valor de 2 . ¿Qué valor obtuviste? Aquí te presentamos algunos de sus decimales: ¿Cómo podríamos escribir este número como fracción? ¡Inténtalo! 𝟐 =𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐𝟏 𝟑𝟓𝟔𝟐𝟑 𝟕𝟑𝟎𝟗𝟓 𝟎𝟒𝟖𝟖𝟎 𝟏𝟔𝟖𝟖𝟕…

Cómo vimos, hay números que no se pueden representar como una fracción, por lo que constituyen un nuevo conjunto número llamada IRRACIONALES.

Números Irracionales ( ℚ ∗ ) El conjunto de los números irracionales está formado por aquellos números que no se pueden representar como número racional, ya que su parte decimal es infinita no periódica.

Números Irracionales ( ℚ ∗ ) Existen algunos que se pueden ubicar por medio de la geometría. Por ejemplo: Y otros que se pueden “crear” a partir de patrones fijos, con lo que se pueden obtener infinitas cifras decimales sin periodo y sin relación con la geometría (números trascendentes). Por ejemplo: 𝟐 𝝅 𝟎,𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟒𝟒𝟒𝟒… 𝟎,𝟏𝟎𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎…

¿Qué número no sería real? Números Reales (ℝ) El conjunto de los números reales corresponde a la unión entre el conjunto de los números racionales (ℚ) y el conjunto de los números irracionales ( ℚ ∗ ) y se representa por ℝ=ℚ∪ ℚ ∗ . 𝟕 ¿Qué número no sería real? 𝒆 −𝟏𝟖 𝟏,𝟐 𝟑

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