NUMEROS ALEATORIOS

La idea es hallar un generador que sea fácil de implementar en la computadora, que sea rápido y que no ocupe mucho espacio memoria, estos requerimientos pueden ser satisfechos con una función matemática sencilla que genere una sucesión de números que satisfagan las condiciones que definen una conjunto de números aleatorios.

Generadores no congruenciales

Método del cuadrado medio Fue propuesto inicialmente por Von Newman y Metrópolis en el año Para generar el siguiente número pseudo- aleatorio, se toman los n dígitos centrales del cuadrado del número anterior de n dígitos. Se requiere una semilla.

Método del cuadrado medio nR(n)R(n) 2 M.R(n) 2 Val 1Val , ,6413, ,3764, ,5697, ,0259, ,9004, ,2816, ,5845, ,2256, ,1042, , ,

Análisis El problema con este método es que tiende a degenerar rápidamente. Dependiendo del valor inicial el método puede degenerar al cabo de ≈20 términos. Por ejemplo, supóngase que se quiere generar una serie de números pseudo-aleatorios de cuatro dígitos y se tiene como i-ésimo termino generado es 3500, luego se tendrá: Se puede observar que hemos llegado a una condición degenerada. Por la tanto, es necesario verificar siempre la serie de números y protegerse contra este fenómeno nR(n)R(n) 2 M.R(n) 2 Random 1Random 2 i i

Método del Producto Medio Este método es muy similar al anterior ya que se tomará como número aleatorio siguiente de la serie, a los n dígitos centrales del resultado de una multiplicación previa. Se requiere dos semillas.

Método del Producto Medio nR(n)R(n+1)R(n) 2 M.R(n) 2 Val 1Val , , , , ,8005, ,2807, ,1769, ,5124, ,9157, , ,6529, ,2482, ,8723, , , ,

Análisis Una modificación para este método consiste en utilizar un multiplicador constante, en lugar de dos números aleatorios como se muestra a continuación: Rn+1 = K * Rn Estos métodos son similares al cuadrado medio. Sin embargo los dos tienen periodos más extensos y los números parecen estar distribuidos uniformemente. Este método tiende a degenerar a un valor constante. Tanto el método de cuadrados medios como el de producto medio tienen un periodo corto para la cantidad de números aleatorios que vamos a necesitaremos generar en cada uno de nuestros Modelos.

Generadores Congruenciales Congruencial Lineal (Mixto). Congruencial Multiplicativo.

Método Congruencial Lineal (MCL) Los generadores congruenciales lineales generan una serie de números pseudo - aleatorios de tal forma que se puede generar el siguiente a partir del ultimo número derivado, es decir, que el número Xn+1 es generado a partir de Xn. La relación de recurrencia para el método congruencial mixto es: X n+1 = (aX n + c) mod m Donde: X 0 = semilla (X 0 >0) a= multiplicador (a >0) c= constante aditiva (c >0) m= módulo (m >X 0, m >a y m>c)

Método Congruencial Lineal (MCL) Si se quiere obtener números Uniformes (0,1) se normaliza el resultado: U n = X n / m En el MCL, si se repite un número ya se repite toda la secuencia. Ventajas: 1.utiliza poca memoria y es muy rápido. 2.fácil de volver a generar la misma secuencia, guardando un solo número, (se alcanza con partir desde la misma semilla: X 0 ).

Ejemplo

Si no se escogen los valores adecuados de los parámetros el período del generador de números pseudo – aleatorios, será menor que m. En la Tabla A se muestra los valores obtenidos para un generador con parámetros: a = 7, c = 9, X 0 = 5 y m = 11. Como puede apreciarse en la tabla el período del generador es 10 que es menor que el módulo que es 11. Si bien este caso no es crítico si lo es el que se presenta en la Tabla B donde los parámetros toman los valores de a = X 0 = c = 7 y m=10 cuyo período es de 4, que es un caso muy critico que nos puede llevar a resultados no deseables y poco confiables Análisis

Tabla A

Tabla B

Selección de m, a, c, X 0 a)Selección de módulo (m). Existen dos opciones que son las siguientes: a.1) Escoger al azar el módulo m. a.2) Tomar m de tal manera que sea el número primo más grande posible y además que sea menor que pd- 1, donde p es la base del sistema que se esta usando y d es el número de bits que tiene una palabra de computadora en el sistema que se esta usando. Por ejemplo una computadora XT que trabaja en el sistema binario entonces se tiene que p = 2 y d = 16.

b) Selección de a. El valor de a debe ser un número entero impar, que no deberá ser divisible por 3 ó 5. Pero además, para asegurarnos que el generador tenga período completo, el valor que se tome para a deberá escogerse según el siguiente criterio: (a-1) mod 4 = 0 si 4 es un factor de m. (a-1) mod b = 0 si b es un factor primo de m. Generalmente se toma a igual a 2k + 1 cuando se trabaja en el sistema binario. En ambos casos el valor que se asigne a k deberá ser mayor o igual que 2. Selección de m, a, c, X 0

c) Selección de c. Este parámetro puede tomar cualquier valor. Pero para asegurarnos de tener buenos resultados se deberá seleccionar según la siguiente regla: c mod 8 = 5 En consecuencia c deberá tomar un valor entero impar y relativamente primo a m. Selección de m, a, c, X 0

d) Selección de X 0 Se tiene que para el generador congruencial el valor que tome X 0 es irrelevante y tiene poca o ninguna influencia sobre las propiedades estadísticas de las series de números pseudo - aleatorios que se generen. Selección de m, a, c, X 0

Método Congruencial Multiplicativo En forma semejante al método anterior el generador congruencial multiplicativo genera el próximo número pseudo - aleatorio a partir del último número calculado, siguiendo la siguiente relación de recurrencia: X n+1 = aX n mod m Para este generador también se deben escoger adecuadamente los valores de a, X 0, y m, con la finalidad de que se pueda asegurar un período máximo para la series pseudo - aleatorias generadas por este método. A continuación se dan las reglas que indican como se deben escoger estos valores.

Selección de m, a, X 0 Para trabajar en el sistema binario los valores de los parámetros deberán escogerse siguiendo las siguientes reglas: – El valor de X 0 debe ser un número entero impar y relativamente primo a m. – El valor de a debe ser obtenido a partir de la siguiente expresión: a = 8t ± 3 Donde t es cualquier entero. – El valor de m puede ser 2d. Si m = 2d el período del generador es 2d-2 ó m/4. A modo de ejemplo se obtendremos el período de un generador cuyos parámetros son: a = 5, X 0 = 5 y m = 32. En la siguiente tabla se muestra los elementos que componen la serie generada cuyo período es de 8

Tabla C am 532 nX(n)a*X(n) [a*X(n)] mod m

Tabla D