INFERENCIA EN LOS MODELOS ARIMA ECONOMETRÍA II CAPÍTULO VI D to de Economía Aplicada Cuantitativa I Basilio Sanz Carnero.

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1 INFERENCIA EN LOS MODELOS ARIMA ECONOMETRÍA II CAPÍTULO VI D to de Economía Aplicada Cuantitativa I Basilio Sanz Carnero

2 Estimadores poblacionales Hay que tener bien claro que una serie histórica de tamaño «T» no es una muestra aleatoria de tamaño «T» sino un punto muestra (una única observación) relativa a «T» variables aleatorias en orden temporal sucesivo. En este contexto los teoremas ergódicos muestran las condiciones necesarias para que los estimadores de los momentos muestrales tiendan a los momentos poblacionales. Estimadores muestrales: Media, Función de autocovarianza,, que es insesgado asintóticamente dado que emplea la media muestral en vez de la media poblacional, al estar dividida por «T-u» c u registra mayores fluctuaciones que si se divide por «T», de manera que el estimador más usual es,., que siendo sesgado presenta menor ECM (error cuadrático medio), el sesgo es pequeño para valores reducidos de «u», si el proceso es estacionario la c u debe tender rápidamente a cero. Los modelos univariantes presentan (excepto RB) funciones de distribución muy complejas (falta de independencia de los valores sucesivos de c u y r u ), en todo caso se debe cumplir que, Función de Aucorrelación,

3 DISTRIBUCIÓN DE r u La distribución en el muestreo de «r u » de los distintos modelos es aún más compleja que la de «c u », de manera que en los contraste de hipótesis utilizados habitualmente se considera únicamente el proceso RB, es decir, se considera que los valores sucesivos de «r u » son independientes y que se distribuyen como una normal (0, 1). E(r u ) = 0 Var(r u ) = 1/T Cov(r u, r u+h ) = 0 H o : r u = 0 ; H 1 : r u ≠ 0. Rechazamos H 0 si,

4 DISTRIBUCIÓN DE α uu La distribución en el muestreo de la función de autocorrelación total «r u » se puede generalizar a la función d autocorrelación parcial «α u », es decir, E(α uu ) = 0 Var(α uu ) = 1/T Cov(α uu, α uu+h ) = 0 H o : α uu = 0 ; H 1 : α uu ≠ 0. Rechazamos H 0 si,

5 IDENTIFICACIÓN Por identificar se entiende determinar el proceso estocástico generador de la serie histórica, es decir, especificar el modelo SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) a partir del cual se genera la serie. Primero se transforma la serie en estacionaria mediante la utilización de un valor reducido de diferencias «d, D», posteriormente se determinan los valores «p, P» y «q, Q» a partir de las funciones de aucorrelación parcial y total (correlograma) de la serie estacionaria. No obstante en muchas ocasiones resulta complicado inferir el modelo a partir del correlograma, consecuencia de errores de muestreo, en todo caso para la especificación de estos modelos se requiere un número elevado de observaciones. Cuando no es suficiente el análisis del correlograma para identificar el proceso su suelen estimar iterativamente distintas especificaciones alternativas eligiéndose la que mejor ajusta, lo que a veces soluciona el problema. En estos modelos se suele utilizar para determinar la especificación que mejor ajusta el criterio de Akaike, basado en la varianza de las discrepancias y los desfases utilizados en la especificación, el estimador de la varianza máximo verosímil se puede calcular a partir de la expresión,, se selecciona el modelo con menor FPE.

6 ESTIMACIÓN MODELOS ARIMA Los modelos AR se pueden estimar por MCO o a partir de las ecuaciones de Yule-Walker. Los modelos MA no se pueden estimar por MCO ya que no es un proceso lineal en los coeficientes, de manera que una forma de estimarlo es realizando un proceso iterativo a partir de los valores teóricos que proporcionan la función de autocorrelación y eligiéndose el valor que minimiza la varianza de los residuos. Este mismo proceso se utilizaría para la estimación del modelo ARMA(1,1).

7 VALIDACIÓN Además del contraste de significación individual de los parámetros estimados (t), se conoce como validación del modelo al análisis de la función de autocorrelación de los residuos, para que un modelo quede validado los residuos deben ser RB. Análisis individual: Análisis global (Box-Pierce):, si todos los valores de r u fueran nulos también lo sería su suma, el valor crítico al 95% de confianza se pueden utilizar las tablas (válido sólo en muestras grandes), además el valor también está condicionado por el tamaño de k. El problema del tamaño de la serie fue resuelto mediante el estadístico de Ljung y Box: En general se reconoce que ambos contrastes tienen potencia reducida, una regla práctica de valor aproximado es considerar que si Q > n.g se rechaza RB.

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