Clase N°4 Generación de instancias de una v.a. (Parte I) ICS3723 Simulación Profesor Pedro Gazmuri.

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1 Clase N°4 Generación de instancias de una v.a. (Parte I) ICS3723 Simulación Profesor Pedro Gazmuri

2 Generación de instancias de una v.a. (Parte I) 1.Método de la transformada inversa 2.Generación de números aleatorios U(0,1) i.Método congruencial lineal ii.Multiple recursive method 3.Tests disponibles para analizar la calidad del método i.Tests teóricos ii.Tests estadísticos

3 1. Método de la transformada inversa Supongamos que queremos generar instancias de una variable aleatoria X con distribución de probabilidades F. Sabemos que: Sea R una v.a. con distribución de probabilidad uniforme sobre [0,1]. Entonces:

4 1. Método de la transformada inversa Por lo tanto, Podemos plantear esta igualdad, pues Hemos establecido entonces la siguiente igualdad (1)

5 1. Método de la transformada inversa Ahora bien, siempre es una función monótona no decreciente y, por lo tanto, el evento es equivalente al evento. Esta equivalencia puede ser visualizada gráficamente

6 1. Método de la transformada inversa La equivalencia de los dos eventos implica que: (2) Obsérvese que es una función de una v.a. y, por lo tanto, es también aleatoria. Luego, las ecuaciones (1) y (2) implican que: Por lo tanto, las variables aleatorias X y tienen la misma distribución de probabilidades.

7 1. Método de la transformada inversa El método que utilizaremos para generar instancias de X (denominado de la transformada inversa), opera de la siguiente manera: i.Generar una instancia R₁ de R, en que ii.Sea ; entonces X₁ es una instancia de X

8 1. Método de la transformada inversa Nótese que es una variable aleatoria distinta de X, pero que comparte su distribución de probabilidades. Por lo tanto, generar una instancia de es equivalente a generar una instancia de X. Para generar una secuencia de instancias de X, debemos generar una secuencia. Para que las instancias sean independientes entre sí, debemos asegurarnos que las instancias también lo sean.

9 2. Generación de números aleatorios U(0,1) i.Método congruencial lineal LCG: linear congruential generator. Éste es el método estándar. Dependiendo de las constantes a, c y m el método puede tener mejores o peores propiedades.

10 2. Generación de números aleatorios U(0,1) Modelo formal: un generador pseudo-aleatorio es una estructura en que Luego, el método genera una secuencia Conjunto finito de estados Semilla o estado inicial Función de transformación Conjunto de outputs Función de output

11 2. Generación de números aleatorios U(0,1) Un buen método es aquél en que ρ es cercano a |S| En el método congruencial lineal el periodo máximo es m. Definición El periodo es el menor entero tal que para algún y para todo se tiene que

12 2. Generación de números aleatorios U(0,1) Propiedades ideales de un buen método o Uniformidad o Independencia o Periodo largo o Facilidad de implementación o Rapidez y poca memoria Cómo diseñar buenos métodos o Tests estadísticos o Tests teóricos

13 2. Generación de números aleatorios U(0,1) ii.Multiple recursive method

14 3. Tests disponibles para analizar la calidad del método i.Tests teóricos: análisis de la estructura matemática de los números generados. ii.Tests estadísticos.

15 3. Tests disponibles para analizar la calidad del método i.Tests teóricos En función sólo de a, c y m. Teorema Se examinan la d -tuplas Entonces caen sobre un número finito (y usualmente pequeño de) hiperplanos en el hipercubo.

16 3. Tests disponibles para analizar la calidad del método i.Tests teóricos Ejemplo 1: generador o Es el periodo completo o Se tiene y usamos Ejemplo 2: generador o Ahora y usamos Ejemplo 3: subrutina RANDU o Se tiene y usamos o 2000 tripletas generadas (15 planos)

17 3. Tests disponibles para analizar la calidad del método i.Tests teóricos Ejemplo 1: Two-dimensional lattice for full-period LCG with

18 3. Tests disponibles para analizar la calidad del método i.Tests teóricos Ejemplo 1: Three-dimensional lattice for full-period LCG with

19 3. Tests disponibles para analizar la calidad del método i.Tests teóricos Ejemplo 2: Two-dimensional lattice for full-period LCG with

20 3. Tests disponibles para analizar la calidad del método i.Tests teóricos Ejemplo 3: Three-dimensional lattice for 2000 triplets from the LGC RANDU with

21 3. Tests disponibles para analizar la calidad del método i.Tests teóricos Método congruencial lineal: N d : número de hiperplanos en espacio de d -tuplas. Teorema Ejemplo: Este tipo de teoremas puede generalizarse a modelos congruenciales múltiples.

22 3. Tests disponibles para analizar la calidad del método ii.Tests estadísticos 1.Test de uniformidad Sea la secuencia generada. Se divide el intervalo [0,1] en k subintervalos de igual longitud. Criterio:. Sea f j el número de valores U i que caen en el subintervalo j. Sea

23 3. Tests disponibles para analizar la calidad del método ii.Tests estadísticos 1.Test de uniformidad Si, entonces, para n grande, distribuye (aprox.) como una chi-cuadrado con k – 1 grados de libertad. La hipótesis se rechaza, a nivel α, si α es la probabilidad de cometer error tipo I, es decir, la probabilidad de rechazar la hipótesis cuando ésta es verdadera. Por ejemplo,.

24 3. Tests disponibles para analizar la calidad del método ii.Tests estadísticos 2.Test simultáneo de uniformidad e independencia Generamos pares Si los, entonces los vectores distribuyen uniforme sobre el cuadrado unitario. También debe ser válido para tuplas de largo t. Se puede extender el test de hipótesis anterior.

25 3. Tests disponibles para analizar la calidad del método ii.Tests estadísticos 3.Test de independencia (secuencias ascendentes) Se identifican subsecuencias ascendientes de largo máximo. o Ejemplo: supongamos que la rutina generadora produce los siguientes 10 números: 0.8550.1080.2260.0320.132 0.0550.5450.6420.8700.104 Subsecuencias ascendentes: 0.855 0.1080.226 0.0320.132 0.0550.5450.6420.870 0.104

26 3. Tests disponibles para analizar la calidad del método ii.Tests estadísticos 3.Test de independencia (secuencias ascendentes) o Sean r i : número de subsecuencias generadas de largo r 6 : número de subsecuencias de largo mayor o igual a 6. Si las, se pueden obtener matemáticamente las distribuciones de los r i y construir un estadígrafo a partir de ellos.

27 3. Tests disponibles para analizar la calidad del método ii.Tests estadísticos 3.Test de independencia (secuencias ascendentes) o El estadígrafo es o Aquí, es una matriz de coeficientes conocidos y Se rechaza la hipótesis si un cierto valor. Bajo la hipótesis nula,. o En el ejemplo con 6 grados de libertad, bajo la hipótesis nula.