1 CALCULO DE ÁREAS A2A2 A4A4 A3A3 A1A1 INTEGRAL DEFINIDA Y ¿Área?
2
3 Definición : El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:
4 Integrando Limite superior No tiene significado, indica respecto a que variable se integra. El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración. Limite Inferior
5 2° Teorema Fundamental del Cálculo Si f es una función continua en [a, b] y F una antiderivada de f en [a, b], entonces: Esta regla convierte al cálculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de antiderivadas y evaluación.
6 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y y son constantes, se tiene: Propiedad de linealidad
7 2.Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha: Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración
8 La propiedad anterior es aplicada cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua. Ejemplo: Si y se quiere hallar:
9 Y representa el área de un rectángulo de altura h y longitud de base (b – a). 3.
10 DEFINICIONES: Sea f una función integrable en [a, b], entonces:
11 Definición: Sea f una función contínua tal que: f(x) 0 en [a, b] y S={(x, y)/ a x b, 0 y f(x)} Se denota por A(S) y se llama área de la región definida por S al número dado por: b a dx)x(f)S(A
12 y = f(x) dx dA = f(x)dx f(x) dx y x 0 ab
13 Ejemplo 1: Calcular el área de la región: S={(x, y)/ 0 x 2, 0 y x 2 + 1}
14 dy y x 0 x = g(y) d c dA = g(y)dy g(y)
15 Ejemplo 2: Hallar el área de la región limitada por y = 2x, y = (x-2) 2 + 1, x = 3 y el eje X, tal como lo muestra la figura.
16 dx y x 0 y = f(x) y = g(x) f(x) - g(x) dA =[f(x) - g(x)]dx ba
17 3. Encontrar el área entre las curvas y = x - x 3 ; 1 1 x y
18 4.Encontrar el área entre las curvas y - x = 3;