Funciones Exponenciales D e f  i n i c ó La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por: donde Ejemplos de funciones exponenciales: Base 10 Base 2 Base 3 Base (1/2)

Funciones Exponenciales Ejemplos: Es una función exponencial con base 2. Veamos con la rapidez que crece: Si se compara con:

Funciones Exponenciales Gráfica de la función exponencial

Funciones Exponenciales Gráfica de las funciones Grafica de las funciones

Función Exponencial Natural Funciones Exponenciales Función Exponencial Natural La función exponencial natural es la función exponencial de base e El numero e es un numero irracional cuyo valor es aproximadamente 2,7182 8182845904523536028747135266… El número e es un interesante número que tiene que ver con la naturaleza, la ciencia y la tecnología. Apartir de e se determina la ecuación de la curva de un puente colgante , el tiempo de enfriamiento de un cuerpo , la antigúedad de la materia orgánica por desintegración del carbono 14, el creciemiento de la población y otras Gráfica de Recordar que las características de esta función son las mismas que la función  exponencial                         para a > 1 (0,1)

Funciones Exponenciales Ejemplo estructural Ecuación de la curva de un puente colgante El arco Gateway en San Luis, Missouri, tiene la forma de la gráfica de una combinación de funciones exponenciales, no una parábola como parecería. Es una función de la forma: Se eligió esta forma porque es óptimo para dirtibuir las fuerzas estructurales internas del arco.

Funciones Logarítmicas D e f i n c ó Sea a un número positivo con         . La función logarítmica con base a, denotada por se define

En ambas formas la base es la misma. Funciones Logaritmicas Comparación Comparemos la forma Exponencial y la forma Logarítmica Exponencial: Logarítmica: Exponente Exponente Base Base En ambas formas la base es la misma.

Funciones Logarítmicas Forma Logarítmica Forma Exponencial Ejemplo: © copywriter

Evaluación de logarítmos Funciones Logaritmicas Evaluación de logarítmos

Propiedad de los logarítmos Funciones Logaritmicas Propiedad de los logarítmos Propiedad Razón Se debe elevar a a la potencia 0 para obtener 1. Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a. Se debe elevar a a la potencia x para obtener .                          es la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x.

Ejemplo Aplicación de las propiedades logarítmicas Funciones Logaritmicas Ejemplo Aplicación de las propiedades logarítmicas Propiedad 1 Propiedad 2 Propiedad 3 Propiedad 4

Ejemplo : Graficas de funciones logarítmicas Funciones Logaritmicas Ejemplo : Graficas de funciones logarítmicas Traza la gráfica de Resolución: Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para x como potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad sus logaritmos. x 3 2 1 -1 -2 -3

Familia de Funciones Logarítmicas Funciones Logaritmicas Familia de Funciones Logarítmicas

Logarítmos Comunes Veamos logarítmos con base 10 Funciones Logaritmicas Logarítmos Comunes Veamos logarítmos con base 10 Definición: Logarítmo común El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y se denota omitiendo la base: © copywriter

Ejemplo :Evaluación de logarítmos comunes Funciones Logaritmicas Ejemplo :Evaluación de logarítmos comunes x Log x Use una calculadora para hallar los valores apropiados de f(x) = log x, use los valores para bosquejar una gráfica. 0.01 0.1 0.5 1 4 5 10 -2 -1 -0.30 0.602 0.699 1 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 6

Funciones Logaritmicas Logarítmo natural El logarítmo con base e se llama logarítmo natural y se denota por ln: La función logarítmo natural y = ln x es la función inversa de la función exponencial, : 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 6 6 5 4 3 2 1

Funciones Logarítmicas GRÁFICAS PARA 0<a<1

APLICACIONES Las funciones exponenciales y logarítmicas pueden ser utilizadas para resolver y modelar algunas situaciones de la vida real. Algunas de estas situaciones son: el crecimiento de bacterias en un cultivo, el crecimiento de la población de una ciudad, el tiempo que toma un objeto para llegar a cierta temperatura, etc.

APLICACIONES Modelo de crecimiento y decrecimiento de poblaciones Donde “Ao” es la población inicial. Si el modelo es de crecimiento la tasa “k” > 0 , si es de decrecimiento la tasa k < 0 .

Desintegración radiactiva APLICACIONES Desintegración radiactiva Los elementos radiactivos tienden a disminuir su masa conforme transcurre el tiempo, sea t el tiempo medido en años y C(t) la cantidad medida en gramos del elemento radiactivo, entonces la cantidad de masa C(t) esta dada por : Donde “Co” es la cantidad de masa inicial del elemento radiactivo

Ley de enfriamiento de Newton. APLICACIONES Ley de enfriamiento de Newton. k > 0 donde “u” es la temperatura del medio, “T” es la temperatura inicial del cuerpo y “K” es la constante de enfriamiento del cuerpo

Modelo logístico de crecimiento APLICACIONES Modelo logístico de crecimiento Donde a , b y c son constantes, c > 0 y b > 0

MAGNITUD DE UN TERREMOTO APLICACIONES MAGNITUD DE UN TERREMOTO Para medir la magnitud de un terremoto se realizan lecturas en un sismógrafo que deben ser representadas en una escala por ejemplo : La Escala Richter cuya magnitud se halla : Donde I es la intensidad del terremoto e Io es la intensidad de un terremoto estándar de referencia

APLICACIONES Interés compuesto El interés compuesto se calcula mediante la fórmula donde: A(t) = cantidad después de t años P =Capital o valor actual r = tasa de interés por año n = número de veces que el interés se compone por año t = número de años

Interés compuesto en forma continua APLICACIONES Interés compuesto en forma continua El interés compuesto en forma continua se calcula mediante la fórmula: donde A(t) = cantidad después de t años P = capital o valor actual r = tasa de interés por año t = número de años

Modelo exponencial para la diseminación de un virus Practicando lo aprendido Problema Nº01 Modelo exponencial para la diseminación de un virus Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función: CALCULAR: Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0) b) Calcule el número de personas infectadas despues de un día, despues de dos dias y después de cinco días. c) Haz la gráfica de la función y describe su comportamiento. (puedes utilizar la hoja de cálculo y la calculadora WIRIS)

Practicando lo aprendido Interés compuesto El interés compuesto se calcula mediante la fórmula donde: A(t) = cantidad después de t años P = Principal r = tasa de interés por año n = número de veces que el interés se compone por año t = número de años

Problema Nº02 Cálculo del interés compuesto Practicando lo aprendido Problema Nº02 Cálculo del interés compuesto Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12% anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta después de tres años si el interés se compone anualmente, cada medio año, por trimestre, mensualmente o diario. RESOLUCION DEL PROBLEMA Nº 02: : Datos P = 1000 r = 12% = 0.12 t = 3 Luego estos datos se reemplazan en A(t) donde n= 1, 2, 4, 12, 365 para anualmente, semestralmente, trimestral, mensualmente y diariamente respectivamente . Los cálculos y resultados se muestran en la siguiente tabla:

Practicando lo aprendido Cantidad después de tres años Utiliza Wiris para los cálculos y completa una Tabla como ésta en Writer Capitalización n Cantidad después de tres años Anual 1 Semianual 2 Trimestral 4 Mensual 12 Diaria 365

Interés compuesto en forma continua Practicando lo aprendido Interés compuesto en forma continua El interés compuesto en forma continua se calcula mediante la fórmula donde A(t) = cantidad después de t años P = principal r = tasa de interés por año t = número de años

Practicando lo aprendido Problema Nº03 Calcular el interés compuesto de manera continua Calcule la cantidad después de tres años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por año, capitalizado de forma continua. Datos: P = 1000 r = 0.12 y t = 3 RESOLUCION DEL PROBLEMA Nº 03: Por lo tanto la cantidad después de tres años es $ 1433.33 ( compararlo con el ejemplo anterior)

Practicando lo aprendido Problema Nº 04 Magnitud de un sismo El terremoto de Lima de 1940 tuvo una magnitud de 8,2 ¿Qué tan intenso fue el sismo de Ica del 15 de Agosto de 2007de 1,9 ? RESOLUCION DEL PROBLEMA Nº 04: Considerando Luego el sismo de 2007 fue aproximadamente la mitad de intenso que el sismo de 1940

Practicando lo aprendido Problema Nº 05 Desintegración de una sustancia Una sustancia radiactiva se desintegra siguiendo una función exponencial . La cantidad inicial de masa es de 10 gramos pero después de 200 años la masa se reduce a 2 gramos. Calcular la cantidad de masa después de 100 años RESOLUCION DEL PROBLEMA Nº 05: i) Como la sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a Para Co = 10 se tiene ii) Ademas C(200) =2

Practicando lo aprendido Luego reemplazando k en i) se tiene: iii) Nos piden C(100) Luego la cantidad de masa después de 100 años es de 4,47 gramos aproximadamente