Programa de Asignatura.

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1 Programa de Asignatura.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Programa de Asignatura. Seminario de Resolución de Problemas. Clave : MME - 314 Prerrequisito. : Licenciatura o su Equivalente. Número de Créditos : 1 # Horas Semanales : 2 Horas Teóricas : 0 Prácticas: 2 Recinto : Félix Evaristo Mejía. Horario : Domingo de 8:00 AM a 4:00 PM. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

2 Algunas frases para empezar. Se aprende haciendo;
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Introducción. Algunas frases para empezar. Se aprende haciendo; El esfuerzo y la dedicación aseguran el conocimiento; Las matemáticas entran por las manos; Presentación del Programa y discusión de Reglas internas. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

3 Presentación/Experiencias.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Presentación/Experiencias. Nombre; Años en servicio; Carrera/especialidad; Sus experiencias con la Resolución de Problemas y una opinión inicial. Mensaje –Semillas- Prof. Víctor José Galán Céspedes.

4 ■ Fundamento y estructura del proceso de elaboración de conceptos.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad I. Tratamiento Metodológico de los conceptos Matemáticos. ■ Fundamento y estructura del proceso de elaboración de conceptos. «Quien quiere hacer algo encuentra un medio; quien no quiere hacer nada encuentra una excusa». (Proverbio chino). «La matemática ha constituido, tradicionalmente, la tortura de los escolares del mundo entero, y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus hijos como un sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento necesario; pero la enseñanza no debe ser una tortura, y no seríamos buenos profesores si no procuráramos, por todos los medios, transformar este sufrimiento en goce, lo cual no significa ausencia de esfuerzo, sino, por el contrario, alumbramiento de estímulos y de esfuerzos deseados y eficaces». (Puig Adam, 1958). Prof. Víctor José Galán Céspedes.

5 Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad I. Tratamiento Metodológico de los conceptos Matemáticos. Fundamento y estructura del proceso de elaboración de conceptos. La elaboración de conceptos en general y en los grados del primer ciclo de la escuela básica constituye la garantía para un adecuado aprendizaje en los grados superiores y en su vida futura por lo que esto aporta a la comprensión por parte de los escolares, de los objetos, fenómenos, procesos y relaciones del mundo circundante. La elaboración de conceptos matemáticos, según Arango, C. y otros; (1992), se estructura según tres fases, las cuales sitúan a esta problemática en una perspectiva de proceso: A) Fase preparatoria, que empieza con situaciones que se trabajan mucho antes de la introducción misma del concepto, donde el alumno se familiariza con fenómenos y formas de trabajo correspondientes, para más tarde poder relacionar con el concepto, las ideas adquiridas sobre el contenido. Los alumnos conocen parcialmente el concepto mucho antes de su tratamiento en clases, porque ya lo han utilizado en el lenguaje común o se ha trabajado conscientemente de forma implícita en la preparación del mismo. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

6 ■ Fundamento y estructura del proceso de elaboración de conceptos.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad I. Tratamiento Metodológico de los conceptos Matemáticos. ■ Fundamento y estructura del proceso de elaboración de conceptos. B) Fase de formación del concepto, que se constituye en la parte del proceso que conduce de la creación del nivel de partida, a la motivación hacia el objetivo, donde pasa por la separación de las características comunes y no comunes, hasta llegar a la definición o explicación del concepto. C) Fase de asimilación del concepto, o también la fijación del concepto, a la que pertenecen las ejercitaciones, profundizaciones, sistematizaciones, aplicaciones y los repasos del concepto; ante todo a través de acciones mentales y prácticas dirigidas a ese objetivo. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

7 ■ Fundamento y estructura del proceso de elaboración de conceptos.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad I. Tratamiento Metodológico de los conceptos Matemáticos. ■ Fundamento y estructura del proceso de elaboración de conceptos. Para la elaboración de conceptos, según las fases referidas debe estimularse en los alumnos la formación de los procedimientos lógicos asociados a ellos. PROCEDIMIENTOS LÓGICOS ASOCIADOS A LOS CONCEPTOS. Acciones 1.- Reconocer propiedades. - Observar - Comparar - Aislar propiedades - Determinar propiedades Prof. Víctor José Galán Céspedes.

8 ■ Fundamento y estructura del proceso de elaboración de conceptos.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad I. Tratamiento Metodológico de los conceptos Matemáticos. ■ Fundamento y estructura del proceso de elaboración de conceptos. Más acciones. 2. Distinguir propiedades. - Determinar propiedades. - Determinar las propiedades comunes y no comunes. - Determinar las propiedades esenciales (necesarias y suficientes). 3. Identificación de conceptos. - Recordar propiedades necesarias y suficientes del objeto. - Reconocer si el objeto posee o no la propiedad - Decidir si es o no representante del concepto. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

9 ■ Fundamento y estructura del proceso de elaboración de conceptos.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad I. Tratamiento Metodológico de los conceptos Matemáticos. ■ Fundamento y estructura del proceso de elaboración de conceptos. Más acciones. 4. Definir. - Escoger el género. - Distinguir rasgos esenciales o diferentes. - Comparar con otros conceptos del mismo género. - Describir, caracterizar, fundamentar (estas son acciones propias del primer ciclo, donde no llegan a definir). 5. Clasificar. - Escoger la base o rasgo. - Dividir en clases. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

10 Fundamento y estructura del proceso de elaboración de conceptos.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad I. Tratamiento Metodológico de los conceptos Matemáticos. Fundamento y estructura del proceso de elaboración de conceptos. Más acciones. 6. El Ejemplificar. - Recordar propiedades esenciales del concepto. - Buscar objetos que posean estos rasgos. 7. Deducir propiedades. - Identificar de qué concepto es representante. - Recordar propiedades necesarias del concepto. - Concluir que el objeto posee las propiedades y argumentar.  Prof. Víctor José Galán Céspedes.

11 Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad I. Tratamiento Metodológico de los conceptos Matemáticos. La estructuración metodológica de la formación y asimilación de conceptos. Entre los factores propicios para la formación de conceptos se encuentran los siguientes: Peculiaridades de  la personalidad y la motivación: Como toda actividad, la formación de conceptos es dirigida por el fin y surge bajo la influencia de determinados motivos. Las funciones de los objetos, fijadas en los conceptos, deben interesar al alumno, ser imprescindibles para resolver tareas, transformarse en un problema. Entonces la percepción y el pensamiento del alumno comienzan a buscar y destacar en los objetos las correspondientes estructuras funcionales. Por lo tanto, la enseñanza de conceptos debe realizarse planteando tareas cuya solución exija la formación y el empleo de ellos. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

12 Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad I. Tratamiento Metodológico de los conceptos Matemáticos. La estructuración metodológica de la formación y asimilación de conceptos. Entre los factores propicios para la formación de conceptos se encuentran los siguientes (continuación): Los esfuerzos orientados, las búsquedas y los reiterados intentos que son acompañados por la comprobación de los resultados: Esas búsquedas hacen que se tome conciencia de relaciones y propiedades siempre nuevas de los objetos, mientras entre ellas no se revelen las que son esenciales para resolver el tipo de tareas dadas. Sobre esta base surge una nueva comprensión de las mismas, los mismos elementos se incluyen en nuevos conceptos. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

13 Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad I. Tratamiento Metodológico de los conceptos Matemáticos. La estructuración metodológica de la formación y asimilación de conceptos. Entre los factores propicios para la formación de conceptos se encuentran los siguientes (continuación): La presencia de los conocimientos correspondientes y actitudes: Antes de enseñar conceptos, los alumnos deben conocer las propiedades, relaciones y funciones de los objetos en las que se apoyan los conceptos estudiados. Se recomienda iniciar la enseñanza por los conceptos más generales, es decir, por las propiedades estructurales más generales del ámbito de la realidad que se estudia. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

14 Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad I. Tratamiento Metodológico de los conceptos Matemáticos. La estructuración metodológica de la formación y asimilación de conceptos. Entre los factores propicios para la formación de conceptos se encuentran los siguientes (continuación): Análisis previo de la esencia de la tarea mental y valoración de sus posibles soluciones: El concepto se forma más rápido y correctamente si el alumno tiene conciencia de para qué hace falta, qué tareas permite resolver, con qué ámbitos de la realidad tiene relación. Orientación del pensamiento: Sólo los deseos, la aplicación y los conocimientos con frecuencia no bastan para formar en el alumno conceptos correctos. Es preciso que el pensamiento esté orientado a las funciones y rasgos correspondientes del objeto. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

15 Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad I. Tratamiento Metodológico de los conceptos Matemáticos. En resumen: El aprendizaje de la matemática en general, se alcanza utilizando vías que son básicamente prácticas. En contraste, el objeto de estudio y por tanto el contenido de esta ciencia, es sumamente teórico. El manejo adecuado de los conceptos por parte de los estudiantes, desde una edad temprana, es un requisito indiscutible para el buen desempeño del mismo en el proceso futuro de su aprendizaje. Cualquiera que trate de resolver problemas del área de matemática, teniendo dificultades con el manejo de los conceptos claves de la misma, tendría poco éxito. Mensaje –Exito- Prof. Víctor José Galán Céspedes.

16 Instrucciones primer trabajo grupal (primera parte). Taller.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad I. Tratamiento Metodológico de los conceptos Matemáticos. Instrucciones primer trabajo grupal (primera parte). Taller. En grupo de 3 a 4 personas y basados en la experiencia y el power point de esta primera parte, preparar una pequeña reflexión que enfatice en los siguientes puntos: - Experiencia que posee el grupo respecto a la situación actual en la enseñanza-aprendizaje de conceptos en matemática, en la RD. - Importancia que le dan a este aspecto, para el aprendizaje de los estudiantes. Importancia del manejo de conceptos en matemática, frente a la resolución de problemas del área. Seleccionar dos ideas matemáticas conocidas y elaborar “su propio concepto” de cada una. El grupo preparará su reflexión en unos 35 minutos, la que luego se presentará en plenaria, a manera de defensa. Al final de la plenaria se entregará por escrito al facilitador. Todo el proceso tendrá un valor de 7%. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

17 1. Introducción. Métodos de demostración.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad II. Tratamiento Metodológico de los Teoremas. 1. Introducción. Métodos de demostración. La demostración en matemática. Rigor vs. Didáctica. La demostración en matemática. Lo ideal: Elegancia + rigor + didáctica. Métodos de demostración. Directo e indirecto. Ver ejemplo de cada uno. Otros métodos de demostración. Por refutación: - Por contradicción. - Por contraejemplo. Por contrarecíproco. Por demostración de existencia. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

18 2. Procesos parciales en el tratamiento de Teoremas.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad II. Tratamiento Metodológico de los Teoremas. 2. Procesos parciales en el tratamiento de Teoremas. El tratamiento de teoremas y sus demostraciones , se puede estructurar en tres etapas fundamentales: ­ Búsqueda del teorema; en esta etapa se pretende que el estudiante sea capaz de encontrar una determinada suposición y formular la como proposición; - Búsqueda de la demostración, como su nombre lo indica se pretende encontrar los medios para la demostración, en particular en la demostración que se desarrolla se pone al descubierto la cadena de inferencias que conducen de la hipótesis a la tesis, a través de una serie de etapas intermedias; - Representación de la demostración, pretendiendo aquí escribir correctamente la cadena de inferencias lógicas en un esquema de demostración conveniente y claro. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

19 2. Procesos parciales en el tratamiento de Teoremas.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad II. Tratamiento Metodológico de los Teoremas. 2. Procesos parciales en el tratamiento de Teoremas. La proposición (o enunciado) que describe un teorema. Una implicación o una equivalencia matemática? El planteamiento antecedente-consecuente, (hipótesis-tesis) qué implica? El planteamiento Equivalencia, qué implica? Estos planteamientos, qué consecuencias producen en el proceso de la demostración de un teorema. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

20 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad I. Elementos de lógica matemática. 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones. En el proceso a seguir al hacer cualquier demostración, se debe tener acceso a: Un conjunto de axiomas. Un conjunto de definiciones. Un conjunto de reglas o criterios de deducción. Un conjunto de teoremas demostrados, que se basan en los tres conjuntos anteriores. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

21 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad II. Tratamiento Metodológico de los Teoremas. 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones. Analizar algunos casos; 1) Método directo. Ejemplos. 1. “Demostrar que si x es impar, entonces x2 también lo es”. Demostración. Afirmación Justificación. (1) x es impar Por hipótesis. (2) Existe algún u ЄZ tal que x = 2u Por definición de imparidad. (3) x2 = (2u + 1) Por teoremas del Algebra. = 4u2 + 4u Cuadrado de un binomio. = 2(2u2 + 2u) Factorizando. (4) Luego de donde, x2 es impar Por definición de imparidad. ■ Prof. Víctor José Galán Céspedes.

22 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad II. Tratamiento Metodológico de los Teoremas. 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones. 1) Método directo (continuación). 2. “Demostrar que si u es real, entonces ( – 1) x u = – u”. Demostración. Afirmación Justificación. (1) 1+ (– 1) = Por def. de inverso aditivo. (2) 1 x u + (–1) x u = 0 x u Por distribución. (3) 0 x u = Por propiedad absorbente. (4) 1 x u = u Identidad multiplicativa. (5) u + (–1) x u = Por (2), (3) y (4). (6) u + (–u) = Por def. de inverso aditivo. (7) u + (– 1) x u = u + (– u) Por (5) t (6) (8) (– 1) x u = – u Por uniformidad ■ Prof. Víctor José Galán Céspedes.

23 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad II. Tratamiento Metodológico de los Teoremas. 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones. 2) Método Indirecto. Ejemplo. Tomemos un caso de Lógica Matemática. “Demostrar p & q, a partir de las premisas dadas ”. Demostración. Afirmación Justificación. (1) ~ r Premisa. (2) s → r Premisa. (3) ~ s → (p& q) Premisa. (4) ~ s Por el MT. (5). p& q Por el MP. ■ Prof. Víctor José Galán Céspedes.

24 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad III. Tratamiento de Ejercicios de aplicación de Problemas de palabras. 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones. 3) Por reducción al absurdo. “Demostrar que √2 no es racional”. Demostración. Se parte del hecho de que cualquier número racional puede ser escrito en la forma x/y, donde y ≠ 0. Supongamos que √2 = p/q, donde p/q es un racional ya simplificado. Afirmación Justificación. (1) Puede escribirse que 2 = p2/q Por uniformidad. (2) También se tiene que p2 = 2q Por uniformidad.. - (3) Es obvio que p2 es divisible por 2 y por tanto, también p lo es Por teorema del Algebra. (4) Se puede escribir p = 2r, con r ЄZ. Entonces, 4r2 = 2q2 o 2r2 = q2 y como q2 es divisible por 2, q también lo es Propiedades Aritméticas. - Luego, tanto p como q tienen un factor común, lo que contradice la hipótesis. ■ Prof. Víctor José Galán Céspedes.

25 3.1 Ejercicios en la enseñanza de las matemáticas.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad III. Tratamiento de Ejercicios de aplicación y de los Problemas de palabras. 3.1 Ejercicios en la enseñanza de las matemáticas. Qué aspectos deben enfatizarse en la asignación de ejercicios en el aula, al final de cada tema o unidad? - Cantidad con calidad; - Pertinencia y significación; - Posibilidad de revisión; entre otros. Justificación de la asignación de ejercicios. Diferentes argumentos. Cómo verificar la pertinencia y el valor de los ejercicios. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

26 Instrucciones primer trabajo grupal (segunda parte). Discusión.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad I. Tratamiento Metodológico de los conceptos Matemáticos. Instrucciones primer trabajo grupal (segunda parte). Discusión. En grupo de 3 a 4 personas y basados en la hoja trabajo de grupo (segunda parte), completar las justificaciones de cada teorema desarrollado, escribiendo en cada raya a la derecha el nombre, de una definición, de una propiedad, de un axioma o de otro teorema, según la opinión del grupo. Hacer la pequeña reflexión solicitada en la hoja. Discusión y entrega. Valor 8%. Prof. Víctor José Galán Céspedes.

27 Asignación de trabajo grupal (de 3 a 4 miembros) (análisis).
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Seminario de Resolución de Problemas MME-314 Unidad II. Tratamiento Metodológico de los Teoremas. Asignación de trabajo grupal (de 3 a 4 miembros) (análisis). Se sugiere, leer y analizar: Material # 1 –págs. de la 22 a la 68. Material # 2 –págs. De la 7 a la 18. ▪ Elaborar una propuesta del grupo acerca de los siguientes puntos sobre la Resolución de Problemas: Cuándo Ejercicio? Cuándo Problema? Proceso de la Resolución de Problema: Etapas. Distintas formas de aproximarse a un problema. El criterio Psico-Didáctico sobre la resolución de problemas. Se puede ensenar a resolver problemas? Hacer un resumen con los aportes de Poincaré, Pólya y Schoenfeld al método de Resolución de Problemas. ▪ El trabajo se entregará el domingo 03 de marzo, en hojas 8½x11, manuscrito o digitado con 10 o 12 páginas de extensión. Deberá hacerse una corta defensa grupal (8 o 9 minutos), para compartirlo con los demás grupos, donde se tomará mucho en cuenta la creatividad y originalidad en la presentación (valor 20%). Prof. Víctor José Galán Céspedes.