RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS Isidoro Segovia Alex Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.

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1 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS Isidoro Segovia Alex (isegovia@ugr.es) Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada

2 Resumen del curso Importancia de la Resolución de Problemas. La RP en el currículum Concepto de Problema y Resolución de un problema Variables sintácticas Variables semánticas Etapas en la Resolución de Problemas Invención de problemas

3 ¿Cómo de importante es la Resolución de Problemas? Fines del aprendizaje de las matemáticas: –Para aplicarlas (resolver problemas) –Para desarrollar la inteligencia –Para entretenerse –Por que son bellas

4 La Resolución de Problemas es uno de los objetivos fundamentales de la enseñanza de las Matemáticas en todos los niveles desde varios puntos de vista: –La Resolución de problemas Matemáticos es un objetivo a conseguir –La Resolución de Problemas es un proceso de pensamiento y por tanto ayuda a pensar mejor –La resolución de problemas Matemáticos ayuda a la resolución de cualquier tipo de problema de la vida diaria

5 La enseñanza de la Matemática se debería estructurar hacia la RP La nueva idea de currículo basado en la adquisición de competencias orienta la enseñanza de las matemáticas hacia la RP. Enfatizar la RP no significa descuidar el aprendizaje en conceptos y destrezas matemáticas. Los conceptos, las destrezas y las actitudes en matemáticas son imprescindibles en la RP pero no son lo más importante.

6 ¿Cómo estructurar la enseñanza de las matemáticas hacia la RP? A través de la enseñanza basada en la Resolución de Problemas (la RP como eje vertebrador de la enseñanza). Considerando que la RP es importante y haciendo un tratamiento adecuado a esa importancia (haciendo lo que indica el libro de texto y completando los aspectos necesarios).

7 La primera opción es la indicada por los diseños curriculares actuales y no es una cuestión fácil. El desarrollo de este curso está dirigido, no a desechar el libro de texto sino a sacarle partido y reforzarlo cuando se vea conveniente. Los textos actuales, en su mayoría, han reorientado su contenido al desarrollo de competencias y hacen un esfuerzo en la RP. Sin embargo existe una inercia, en textos y profesorado, dirigida al desarrollo de destrezas básicas, no poco importantes, pero nada comparada con la destreza básica de resolver problemas.

8 La RP en los Decretos Curriculares Real Decreto 1513/2007 (Decreto de Mínimos). “Se aprenden matemáticas porque son útiles en otros ámbitos (en la vida cotidiana, en el mundo laboral, para aprender otras cosas )” “Los contenidos de aprendizaje.. se abordan en contextos de resolución de problemas … “ “Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje matemático puesto que constituyen la piedra angular de la educación matemática. En la resolución de problemas se requieren y se utilizan muchas de las capacidades básicas: leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo, que se va revisando durante la resolución, modificar el plan si es necesario, comprobar la solución si se ha encontrado, hasta la comunicación de los resultados”.

9 La resolución de problemas actúa como eje vertebrador que recorre transversalmente todos los bloques (de contenidos) y por ello se incluye con especial relevancia en cada uno de ellos. Los contenidos asociados a la resolución de problemas constituyen la principal aportación que desde el área se puede hacer a la autonomía e iniciativa personal. La resolución de problemas tiene al menos tres vertientes asociadas al desarrollo de esta competencia: la planificación, la gestión de los recursos y la valoración de los resultados. En la medida en que la enseñanza de las matemáticas incida en estos procesos y se planteen situaciones abiertas, verdaderos problemas, se mejorará la contribución a esta competencia.

10 La RP en los ciclos de Primaria Primer Ciclo Bloques 1 (Números y operaciones), 2 (Medida) y 3 (Geometría): Resolución de problemas que impliquen la realización de cálculos (medida o geometría), explicando oralmente el significado de los datos, la situación planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas. Segundo Ciclo –Iniciativa personal en los procesos de resolución de problemas de la vida cotidiana Tercer Ciclo –Resolución de problemas de la vida cotidiana utilizando estrategias personales, … explicando oralmente el significado de los datos, la situación planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas.

11 Decreto 230/2007 y Orden de 10 de Agosto de 2007 (Andalucía) El núcleo Resolución de Problemas La resolución de problemas debe concebirse como un aspecto fundamental para el desarrollo de las capacidades y competencias básicas en el área de matemáticas y como elemento esencial para la construcción del conocimiento matemático. Es por ello fundamental su incorporación sistemática y metodológica a los contenidos de dicha materia.

12 La resolución de problemas debe entenderse como la esencia fundamental del pensamiento y el saber matemático, y en ese sentido ha de impregnar e inspirar todos los conocimientos que se vayan construyendo en esta etapa educativa, considerándose como eje vertebrador de todo el aprendizaje matemático y orientándose hacia la reflexión, el análisis, la concienciación y la actitud crítica ante la realidad que nos rodea en la vida cotidiana.

13 Los niños y niñas del tercer ciclo, para los que la resolución de problemas resulta especialmente adecuada para ser trabajada, deben familiarizarse con alguna estrategia heurística de resolución de problemas, como la basada en cuatro pasos para resolver un problema matemático: comprender el enunciado, trazar un plan o estrategia, ejecutar el plan y comprobar la solución en el contexto del problema.

14 Más que estar relacionado con el resto de núcleos temáticos de matemáticas, la resolución de problemas constituye en sí misma la esencia del aprendizaje que ha de estar presente en todos núcleos temáticos de esta materia. Se introducirán los nuevos conceptos fundamentándolos a través de situaciones que manifiesten su interés práctico y funcional, y se profundizará en su conocimiento, manejo y propiedades a través de la resolución de problemas.

15 Los estudiantes de esta etapa educativa deben pasar de situaciones problemáticas concretas y sencillas, al principio en los dos primeros ciclos, relacionadas con el entorno inmediato, a situaciones algo más complejas, en el último ciclo, para facilitar la adquisición del pensamiento abstracto. En todas las situaciones problemáticas, incluyendo los problemas aritméticos escolares, se graduarán los mismos, pasando de situaciones que se resuelvan en una etapa a aquellas de dos o tres etapas. En los problemas aritméticos se deberán tener en cuenta las diferentes categorías semánticas y graduarlos en función de su dificultad.

16 Otras informes curriculares “El NCTM recomienda que la solución de problemas sea el principal objetivo de la enseñanza de las matemáticas en las escuelas de los ochenta”. Agenda for action (NCTM, 1980)

17 “En todos los niveles de la enseñanza de las matemáticas deberían incluirse oportunidades para: La resolución de problemas, incluida la aplicación de las matemáticas a situaciones de la vida diaria” (Informe Cockroft, 1982)

18 “Los nuevos objetivos sociales de la educación exigen (NCTM): (1) trabajadores con educación matemática, -Ser capaz de plantear problemas con las operaciones adecuadas -Conocer técnicas diversas para plantear y resolver problemas -Comprender las implicaciones matemáticas de un problema -Poder trabajar en grupo sobre problemas -Ver la posibilidad de aplicar ideas matemáticas a problemas comunes y complejos -Estar preparados para enfrentarse a problemas abiertos, ya que la mayoría de los problemas reales no está bien formulados -Creer en la utilidad y validez de las matemáticas

19 (2) Aprendizaje continuo Se necesita una fuerza laboral flexible que sea capaz de seguir aprendiendo de por vida lo que implica que las matemáticas escolares deben subrayar una forma de instrucción dinámica: La resolución de problemas debe ser un punto central durante la escolarización de forma que los estudiantes puedan explorar, crear, acomodarse a condiciones alteradas, y crear conocimientos nuevos de forma activa lo largo de toda su vida” (Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática, NCTM, 1991)

20 Fin de la primera parte Implicaciones para la enseñanza Discusión y debate

21 LA ENSEÑANZA DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. ¿Se enseña a resolver problemas en clase de matemáticas? ¿Qué es un problema? “Un verdadero problema en matemáticas puede definirse como una situación que es nueva para el individuo a quien se pide resolverla” (NCTM, 1972)

22 Para que una situación constituya un problema se deben de dar unas condiciones: El individuo o grupo que se enfrenta a ella quiere o necesita encontrar una solución No hay un procedimiento fácilmente accesible que garantice o determine completamente la solución, y El individuo o grupo debe realizar intentos para encontrar la solución” (Lester, 1983)

23 ¿Qué es resolver un problema? “Resolver un problema es aplicar los conocimientos que ya disponemos en la solución de situaciones nuevas y no familiares” (Reys, 1982) “La resolución de un problema es un proceso, no un procedimiento paso a paso o una respuesta que hay que encontrar; es un viaje, no un destino”. (Grupo Cero, 1985)

24 ¿Qué se puede hacer para enseñar a resolver problemas? Hasta hace poco se ha creído que la resolución de problemas era una habilidad que se desarrollaba en unos pocos alumnos de manera espontánea; se ha demostrado que esto no es cierto o por lo menos, se puede hacer algo por mejorar la capacidad de resolver problemas de todos los alumnos.

25 UNA MANERA DE ABORDAR LOS PROBLEMAS PARA MEJORAR SU ENSEÑANZA Una manera de mejorar la capacidad de resolución de problemas es identificar dentro de los problemas las dificultades que puedan existir; una parte importante de las investigaciones sobre resolución de problemas está dedicada a este aspecto. Las dificultades están asociadas a muchas variables que intervienen en los problemas y que permiten establecer tipologías

26 Para un observador superficial los tres problemas siguientes se resuelven de la misma forma: Hay 4 chicas y 7 chicos alrededor de una mesa. ¿Cuántos niños hay en total? Juan ha gastado 4 euros. Ahora tiene 7 euros. ¿cuántos euros tenía antes? Roberto jugó dos partidas a las canicas. En la primera partida perdió 4 canicas. Después jugó la segunda partida. En total, ha ganado 7 canicas. ¿Qué pasó en el segundo juego? Aunque los tres se resuelven mediante 4+7, la diferencia de dificultades es evidente.

27 Una de las fuentes de dificultad de la resolución de un problema aritmético está en el enunciado del propio problema. En orden a facilitar y clarificar estas diferencias se han analizado y clasificado los problemas aritméticos de acuerdo a diferentes componentes o variables sintácticas y semánticas.

28 Variables Sintácticas Hay un gran número de variables sintácticas que pueden incidir en la dificultad de los problemas aritméticos. Una clasificación de estas variables sería: Según la información que proporcionan Según la pregunta que plantean Según la secuencia operatoria que resuelve el problema

29 1.Variables según la información que se proporciona: 1.1. Según cómo se transmite la información: –Acción –Representación –Expresión verbal –Expresión simbólica

30 1.2 Según como sean los datos del problema Tipos de números: N, Z, Q …. Tamaño de los datos Inclusión o no de los datos superfluos Ausencia de datos y que hay que obtener Existencia de datos implícitos

31 1.3 Según el contexto de la información Situación más o menos real Situación más o menos familiar Estilo de la redacción Extensión Vocabulario

32 2. Según la pregunta que plantean 2.1 Según el tipo de información que se pide Dato exacto o aproximado Gráfica o numérica Relación entre los datos Acción para conseguir un objetivo 2.2 Según la posición y extensión de la pregunta

33 3. Según la secuencia operatoria 3.1 Según las operaciones implicadas Operaciones Algoritmos Cálculo mental Estimación Sentencias que establecen la relación entre los datos Secuencia de sentencias que dan la solución

34 3.2 Recursos auxiliares Empleo de material Empleo de gráficas Empleo de tablas Empleo de esquemas Empleo de fórmulas

35 Actividad Análisis de los problemas de la Evaluación de Diagnóstico: Indicar las características de cada problema. Analizar si estas características de los problemas son tenidas en cuenta en los textos usuales de la clase de matemáticas de Primaria. Fin de la segunda Parte

36 CLASIFICACIÓN SEGÚN LA VARIABLE O ESTRUCTURA SEMÁNTICA La Traducción (pasar la información del texto a símbolos matemáticos) es una de las fases clave en la resolución de problemas; se ha demostrado que influye de manera significativa lo que se denomina Estructura Semántica de los problemas y que está referida al significado global del problema.

37 De acuerdo a esta componente los problemas se pueden clasificar en los siguientes tipos: A) Problemas de CAMBIO: en estos problemas una cantidad inicial es sometida a una acción que la modifica. Ejemplo: José tiene 5 caramelos y su padre le da 2. ¿Cuántos tiene?.

38 En estos problemas se distinguen tres cantidades: inicial (CI), de cambio (CC) y final (CF). Dependiendo de si CF es mayor o menor que CI y si la incógnita es CI, CC o CF tenemos seis clases de problemas de cambio CICCCFCRECEDECRECE 1DATO INCÓGNIT A * 2DDI* 3DID* 4DID* 5IDD* 6IDD*

39 Cambio 1:José tiene 5 caramelos y su padre le da 2. ¿Cuántos tiene? Cambio 2: José tiene 5 caramelos y su padre le quita 2. ¿Cuántos le quedan? Cambio 3: José tiene 5 caramelos; con los que le da su padre ahora tiene 7. ¿Cuántos le ha dado? Cambio 4: José tiene 5 caramelos; con los que le quita su padre ahora tiene 3. ¿Cuántos le ha quitado? Cambio 5: José tiene caramelos y su padre le da 2; ahora tiene 7. ¿Cuántos tenía? Cambio 6: José tiene caramelos y su padre le quita 2; ahora tiene 3. ¿Cuántos tenía?

40 B) Problemas de COMBINACIÓN Son problemas donde se relacionan de manera estática dos conjuntos, respondiendo al esquema parte-parte-todo; se puede preguntar por una parte o por el todo. Ejemplo: María tiene 5 euros en una mano y 3 en la otra. ¿Cuántos euros tiene en total? Existen dos clases de problemas según que la pregunta se realice sobre una de las partes o el todo. María tiene 8 euros en las dos manos; si en una tiene 5, ¿cuántos tiene en la otra?

41 Problemas de COMPARACIÓN C1) COMPARACIÓN ADITIVA: en estos problemas se presenta una relación de comparación entre dos cantidades, la de referencia y la comparada. La cantidad en que se diferencian se llama diferencia. Ejemplo: Tere tiene 8 libros y Mari 4 más. ¿Cuántos libros tiene Mari? Cualquiera de las tres cantidades puede ser la incógnita y la comparación puede ser de dos tipos, “más que” y “menos que”. Tenemos por tanto seis tipos de problemas. Para algunos autores, si la comparación incluye el término “igual que” o “tantos como” se consideran problemas de IGUALACIÓN con una clasificación similar a la de comparación. Ejemplo: Tere tiene 8 libros y Mari le sobran 4 para tener igual que Tere. ¿Cuántos libros tiene Mari?

42 Problemas de comparación aditiva CRCDCC‘MÁS QUÉ’‘MENOS QUE’ 1DATO INCÓGNITA* 2DDI* 3DID* 4DID* 5IDD* 6IDD*

43 C2) COMPARACIÓN MULTIPLICATIVA La relación en este caso es de tipo multiplicativo. Ejemplo: Juan tiene 6 canicas y María 3 veces las canicas de Juan. ¿Cuántas canicas tiene María? Si empleamos el término “veces más” o “veces menos” y dependiendo dónde está la incógnita tendremos 6 tipos de problemas. Al igual que para la comparación aditiva si se emplea el término “igual que” tendremos problemas de IGUALACIÓN multiplicativa

44 Problemas de comparación multiplicativa CRCDCC‘VECES MÁS’‘VECES MENO S’ 1DATO INCÓGNIT A * 2DDI* 3DID* 4DID* 5IDD* 6IDD*

45 Problemas de RAZÓN: Son problemas en los que se presenta una proporcionalidad simple directa entre dos magnitudes donde una de las cantidades es siempre la unidad. Ejemplo: En cada estante hay 5 libros. ¿Cuántos libros hay en 3 estantes?

46 Problemas de producto cartesiano En estos problemas se combinan los elementos de dos conjuntos para formar todas las posibles parejas. Por ejemplo: Con tres camisetas y dos pantalones, ¿de cuantas maneras me puedo vestir? Dependiendo de dónde se sitúe la incógnita, total de parejas o cantidad de uno de los conjuntos hay dos tipos de problemas.

47 Actividad Análisis de problemas de libros de texto desde la perspectiva semántica Fin de la tercera parte

48 Métodos de Resolución de problemas: las etapas de resolución ¿SE PUEDE ENSEÑAR Y APRENDER A RESOLVER PROBLEMAS?

49 PROBLEMA PARA PENSAR E INTENTAR RESOLVER: Dos estaciones de ferrocarril distan 100 km. A la una del mediodía del domingo arranca de cada una de las estaciones un tren, cada uno de los cuales se dirige hacia el otro. En el instante en que los trenes arrancan, un halcón alcanza al segundo tren, da media vuelta y vuela en dirección al primero. El halcón prosigue de igual modo hasta que los trenes se cruzan. Supongamos que ambos trenes viajen a la velocidad de 50 km por hora, y que el halcón vuele a la velocidad constante de 200 km por hora. Cuando los trenes se crucen, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido el halcón?

50 Etapas de resolución para problemas generales Dewey (1910) Identificación de la situación problemática Definición precisa del problema Análisis medios-fines. Plan de solución Ejecución del plan Asunción de las consecuencias Evaluación de la solución. Supervisión. Generalización

51 Bransford y Stein (1984) proponen su método (IDEAL) I, identificación del problema D, Definición y representación del problema E, Exploración de posibles estrategias A, Actuación, fundada en una estrategia L, Logros. Observación y evaluación de los efectos de nuestras actividades

52 Situación: Los estudios de Juan no van bien. IDENTIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS Los problemas se encuentran inmersos en situaciones problemáticas en las cuales hay que identificar cuál o cuáles son los problemas que hacen que la situación sea así. ¿Qué problemas pueden producir la situación anterior?

53 DEFINICIÓN Y PRESENTACIÓN DE LOS PROBLEMAS La definición y representación de un problema es una fase en la que debe de poner de manifiesto una comprensión del mismo; es un paso importante para su resolución. ¿Cómo definir o representar de la mejor forma los problemas anteriores?

54 EXPLORACIÓN DE POSIBLES ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN Existen estrategias generales que pueden explorarse: análisis del problema para ver si puede descomponerse en partes y resolver cada una; razonar de fin a principio; analizar y resolver una situación más sencilla; aplicar conceptos conocidos; etc

55 ¿Qué estrategias pueden emplearse en la resolución de los problemas descritos? ACTUACIÓN FUNDADA EN UNA ESTRATEGIA Elegir la estrategia que se considere más idónea y aplicarla obteniendo una solución al problema.

56 LOGROS ALCANZADOS; EVALUACIÓN Valorar la pertinencia de la solución; aceptarla o rechazarla y revisar el proceso.

57 Etapas para la Resolución de Problemas Matemáticos Polya (1945), prescinde de las fases iniciales y propone 4 fases de resolución que está más orientada a los problemas matemáticos escolares: Comprender el problema Concebir un plan Ejecutar un plan Examinar la solución obtenida

58 Propuesta de NCTM Etapas para la enseñanza de Resolución de Problemas –Formular problemas –Identificar problemas –Utilizar diferentes estrategias de resolución –Resolver problemas –Comprobar resultados –Generalizar resultados

59 Restringiendo los problemas a los aritméticos Puig y Cerdán (1988) proponen las siguientes fases: Lectura Comprensión Traducción Cálculo solución revisión. Comprobación

60 Heurísticos En la superación de cada una de las fases, Polya opina que se pueden plantear a los alumnos preguntas y sugerencias que le ayuden. A este tipo de herramientas que pueden ser útiles para resolver un problema se les denomina heurísticos. “La heurística es el estudio de los modos de comportamiento al resolver problemas y los medios que se utilizan en el proceso de resolverlos que son independientes del contenido y que no suponen garantía de que se obtenga la solución”. (Puig, 1993) Las diferentes herramientas heurísticas se han obtenido analizando los procesos de resolución de problemas que utilizan expertos.

61 Heurísticos para representar o comprender el problema: Repite el problema con tus propias palabras Identifica los datos, lo que se pide y la información necesaria Identifica un subobjetivo Introduce la notación adecuada Busca un modelo Construye una tabla Relaciona toda las posibilidades Realiza un dibujo o esquema Descubre suposiciones ocultas

62 Heurísticos para idear un plan Actúa Conjetura y prueba Mira hacia atrás Resuelve un problema similar más sencillo Divide el problema en partes

63 Valoración del resultado ¿crees haber obtenido la solución correcta? ¿Cómo lo sabes? ¿es única? ¿ Puede haber más soluciones? ¿por qué? ¿La has justificado? ¿No lo has creído necesario? ¿Por qué? ¿has verificado el planteamiento del problema? ¿Has verificado los cálculos? ¿te ha servido para asegurar que tu solución es correcta? ¿entiendes bien tu solución y te convence? ¿Sabes explicarle a un compañero por qué funciona tu solución? ¿Es absurda la solución, o tiene sentido?

64 Reflexión sobre el proceso ¿Te quedaste parado en algún momento? ¿En qué parte? ¿Saliste del atasco? ¿Cómo? ¿En algún momento cambiaste de camino? ¿Qué fue (algo o alguien) lo que te hizo encontrar el buen camino? ¿Qué dificultades clave has tenido a lo largo del proceso?

65 Generalización ¿Has realizado un problema parecido? ¿Cuál? ¿Te ha servido para resolver el otro propuesto? ¿Has sabido aplicar el método inicial a casos más generales? ¿Sabrías resolver ahora el problema de forma más sencilla? ¿Sabrías resolver situaciones parecidas? ¿Puedes enunciar un problema en el que se aplique el método? ¿Y un problema en el que se aplique la misma idea?

66 PROBLEMAS PARA RESOLVER 1. Mover dos palillos de manera que se formen 4 cuadrados

67 2. Una mañana, exactamente al amanecer, un monje budista emprendió la ascensión de una elevada montaña. El caminito, un sendero de no más de medio metro de ancho, daba vueltas y revueltas en torno a la montaña, hasta un resplandeciente templo, en la cima. El monje fue subiendo con velocidad variables, deteniéndose muchas veces a descansar y a comer frutas secas que llevaba consigo. Alcanzó el templo poco antes de la puesta de sol. Tras varios días de ayuno y meditación, emprendió el viaje de regreso a lo largo del mismo sendero, partiendo al amanecer, caminando nuevamente con velocidad variable y haciendo muchas pausas a lo largo del camino: Su velocidad media en el descenso fue, como era de esperar, mayor que la velocidad media en el ascenso. Demuéstrese que hay un punto del camino por el que el monje pasó en ambos viajes exactamente a la misma hora del día.

68 3. Tienes tres jarras de capacidades 8, 5 y 3 litros. La más grande está llena de limonada, las otras dos están vacías. La tarea es verter 3 litros en cada una de las jarras pequeñas (y quedarán 2 litros en la grande). Sólo hay una regla: Cuando viertas limonada de una jarra a otra, no puedes parar hasta que (a) la jarra en la cual viertes esté llena, o (b) la jarra de la que viertes esté vacía.

69 4. Un barquero ha de trasportar en su barca a un zorro, un ganso y un saco de maiz, para cruzar un río. En la barca sólo hay sitio para uno de los tres, en cada viaje. Por otra parte, si el zorro y el ganso se quedan solos, aquel se comerá al ganso. Y si el ganso y el saco de maiz se dejan también solos, el ganso se comerá el maiz. ¿Cómo se puede realizar la tarea?

70 5. Dos jugadores, Antonio y Basilio, juegan de la siguiente forma: Antonio coloca sobre la mesa un número de cerillas, entre 20 y 50, las que el quiera. Basilio quita de ese montón entre 1 y 10 cerillas. Luego Antonio quita entre 1 y 10 cerillas de las que queden, etc. Gana quien se lleve la última cerilla y deje la mesa vacía. ¿Quién prefieres ser, Antonio o Basilio? ¿Cómo jugarías?

71 Discusión sobre las soluciones de los problemas. –Fin de la cuarta parte

72 LA INVENCIÓN DE PROBLEMAS. LAS SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

73 La invención de problemas Una de las fases más importantes en la resolución de problemas es la comprensión y traducción del enunciado. Los investigadores han puesto de manifiesto que una manera de ayudar en la resolución, en la fase de comprensión y traducción, es a través de la invención de problemas. La invención de problemas constituye también la resolución problemas desde distintas perspectivas. En este caso en lugar de llamarles problemas se les suele llamar situaciones problemáticas.

74 La técnica de invención-reconstrucción de situaciones problemáticas actúa con la razón de que la matemática, antes que ser disciplina de cálculo tiene que ser oficio de comprensión; antes de dar respuestas exactas y prontas hay que permitir razonamiento. Cuando el alumno inventa un problema a partir de una solución dada recorre fases como elaborar, ejecutar, comprender, verificar,.. sin necesidad de ser advertidas siendo más conscientes de ellas por su carácter constructivo (Fernández, 2000).

75 También, con la invención- reconstrucción de problemas se presenta una RP como diagnóstico de dificultades y errores conceptuales; con la invención-reconstrucción se dejan al descubierto la calidad de la adquisición de los conocimientos que posee el alumno y constituyen puntos de referencia para que el profesor dirija la enseñanza.

76 Criterios para la invención- reconstrucción problemas Un problema está compuesto por un contexto, un enunciado, unos datos, unas preguntas, unas operaciones implicadas, una secuencia operatoria que resuelve el problema y una solución. Relativos a esos elementos se pueden establecer actividades de inventar enunciados, datos y preguntas, fijadas o no las demás componentes del problema.

77 Cuadro de situaciones de invención XXXX I XXInvent ar datos XXX I XXXInvent ar pregun tas XXXXX I XInvent ar enuncia do Solució n Secuen cia operat oria Operac iones Pregun ta DatosEnunci ado Contex to

78 Inventar enunciados 1. -Inventar y resolver un problema a partir de una solución dada. Ejemplo: Inventa y resuelve un problema cuya solución sea 16 páginas. 2.- Inventar y resolver un problema a partir de una expresión matemática. Ejemplo: Inventa y resuelve un problema que se resuelva mediante 16+7 3.- Inventar un problema dando la solución y las operaciones. Ejemplo: Inventa y resuelve un problema con una suma y de solución 75. 4.- Inventar y resolver un problema dados datos y solución. Ejemplo: Inventa un problema que incluya algunos de los datos 5, 16, 18 y 37 y cuya solución sea 23. 5.- Inventar un enunciado asociado a una pregunta. 6.- Inventar un enunciado asociado a una pregunta y una solución.

79 Inventar enunciados 7.- Inventar un enunciado asociado a una pregunta y al proceso de resolución. 8.- Inventar un enunciado asociado a una pregunta, una solución y unos datos numéricos. 9.- Inventar un enunciado que se corresponda con varias preguntas. 10.- Inventar un problema dado un vocabulario específico, dibujo o gráfico (contexto). 11.- Inventar un problema asociado a un vocabulario (contexto) y la operación para su resolución. 12.- Inventar un problema con un vocabulario (contexto) y la solución dados.

80 Inventar preguntas 1.- Expresar preguntas y responderlas a partir de un enunciado. Ej.: Escribe preguntas que se puedan responder a partir del enunciado: Sonia ha estado viendo la TV 137 minutos. Ramón ha estado viendo la TV 29 minutos menos que Sonia. 2.- Expresar preguntas que se corresponden con el enunciado y la operación Ej. Escribe preguntas a partir del enunciado y la operación: “Joaquín ha comprado un cuaderno que le ha costado 2.5 euros y otro 1.75 ¿___? Sumar. 3.- Expresar las preguntas que se corresponden con un enunciado y una expresión matemática. 4.- Expresar preguntas que se correspondan con un enunciado y la solución.

81 Inventar datos 1.- Inventar los datos en el enunciado de un problema que se le han borrado los datos a partir de su proceso de resolución. 2.- Inventar los datos en el enunciado de un problema que se le han borrado los datos a partir de su solución. 3.- Dados unos datos y un enunciado que se le han borrado los datos, poner los datos en su sitio y resolver el problema. 4.- Inventar otros datos de un problema resuelto para obtener una solución dada distinta a la anterior. 5.- Inventar otros datos de un problema resuelto para obtener la misma solución

82 Completar con ejemplos los tipos de invención de problemas que faltan en las diapositivas. Reflexión final: ¿Qué conclusiones obtenemos del curso para la enseñanza?

83 Referencias Bransford, J. D. y Stein, B.S. (1984). Solución IDEAL de problemas. LABOR. Barcelona. Fernández, J.A. (2000). Técnicas creativas para la resolución de problemas matemáticos. CISS-PRAXIS. Barcelona. Grupo EGB de la SAEM Thales (1988). Didáctica activa para la resolución de problemas. Universidad de Granada. NCTM (1991). Estándares curriculares y de evaluación para la Educación Matemáticas. SAEM THALES. Sevilla. Polya, G. (1945). Cómo plantear y resolver problemas. Trillas. México Puig, L. y Cerdán F. (1988). Problemas aritméticos escolares. Síntesis. Madrid.