Lugares geométricos. Las cónicas y las cuádricas

Presentación del tema: "Lugares geométricos. Las cónicas y las cuádricas"— Transcripción de la presentación:

1 Lugares geométricos. Las cónicas y las cuádricas
Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola …

2 Lugares geométricos en el plano
Se denomina LUGAR GEOMÉTRICA del plano al conjunto de puntos de éste que cumple unas condiciones determinadas Ejemplo.- La mediatriz de un segmento de extremos A, B es la recta r que cumple que para cualquier punto P de r, se cumple d(P,A) = d(P,B). Así por ejemplo, si A(-4,2) y B(4,4) la mediatriz r será

3 Lugares geométricos en el plano
Ejemplo.- La bisectriz de dos rectas r y s, es la recta t que cumple que para cualquier punto P de t, se cumple d(P,r) = d(P,s). Así por ejemplo, si r : -12 x + 5 y = 0 y s : 3 x + 4 y =7 la bisectriz r será

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5 Circunferencia. Ecuación
La CIRCUNFERENCIA es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano que equidistan de otro punto llamado centro C(a,b). Es decir { P(x,y) ℝ2 :  un r que cumple d(P,C) = r } Elevando al cuadrado la expresión d(P,C) = r, la ecuación de la CIRCUNFERENCIA será Quitando paréntesis en la ecuación e igualando a cero, obtenemos la ecuación polinomial de la CIRCUNFERENCIA, que será No toda expresión polinomial de este último tipo representa una circunferencia, ya que para que sea una circunferencia, r tiene que ser mayor o igual a cero.

6 Circunferencia. Ecuación
Ejemplo.- Calcular la ecuación polinomial de la circunferencia de radio 4 y centro (1,-2) Si representa una circunferencia la siguiente ecuación polinomial ecuación polinomial, calcular cu centro y su radio x2 + y2 + 4 x – 2 y + 25 = 0 Que como no puede hallarse un valor real para r, la ecuación polinomial, no representa una circunferencia

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8 Circunferencia. Ecuación
La CIRCUNFERENCIA centrada en el origen es aquella que su centro es (0,0). Es decir de ecuación También es fácil comprobar que una ecuación que pase por el origen de coordenadas, su ecuación polinomial será de la forma Las ecuaciones polinomiales de dos circunferencias concéntricas serán de la forma

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10 Potencia de un punto respecto a una Circunferencia
Se denomina POTENCIA de un punto P(x0,y0) respecto de una circunferencia C : (x-a)2 + (y-b)2 = r2, al producto PA  PB donde A y B son dos puntos de la circunferencia, que están alineados con P (este valor es constante independientemente de los valores de A y B). |PA| . |PB| si A  [P,B] , pues Cos (PA,PB) = 0º PA  PB = - |PA| . |PB| si P  [A,B] , pues Cos (PA,PB) = 180º En particular, si tomamos A y B, que pertenezcan a un diámetro de la circunferencia, obtenemos la ecuación Que será > 0, si P es un punto exterior a la circunferencia = 0, si P = A o P = B < 0, si p es un punto interior de la circunferencia

11 Potencia de un punto respecto a una Circunferencia
Ejemplo.- Dada la circunferencia C : x2 + y2 – 6 x + 5 y - 16 = 0, calcular la potencia del punto P(1,1) Teniendo en cuenta la definición de potencia y el teorema de Pitágoras, se observa que PC(P) = d2(PT) Donde T es el punto de intersección de la recta tangente a Circunferencia que pasa por P y la circunferencia

12 Eje radical de dos circunferencias
El EJE RADICAL de dos circunferencias C : x2 + y2 + m x + n y + p = 0 C’ : x2 + y2 + m’ x + n’ y + p’ = 0 Es el lugar geométrico de los puntos que tiene la misma potencia respecto de ambas circunferencias. Es decir Que desarrollando e igualando dichas potencias se obtiene la siguiente recta Si las circunferencias C y C’ son concéntricas no existe el eje radical si son secantes el la recta que pasa por los puntos de intersección Par ver la interpretación gráfica del eje radical pincha en el siguiente vínculo (eje radical de dos circunferencia de J. Manuel Arranz) 

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14 Centro radical de tres circunferencias
El CENTRO RADICAL de tres circunferencias, es el punto que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias

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16 Elipse La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es constante Hay que observar que por el teorema de Pitágoras, se cumple b2 + c2 = a2 Los VÉRTICES de la elipse (A, A’, B, B’) son los puntos de intersección con el eje focal y con el eje secundario. El EJE MAYOR es el segmento [A, A’] de distancia 2.a El EJE MENOR es el segmento [B,B’] de distancia 2.b La SEMIDISTANCIA FOCAL es c = d(O,F) = d(O,F’) El CENTRO de la elipse es el punto medio del segmento [F,F’]. El EJE FOCAL es la recta que contiene al segmento [F,F’]. El EJE SECUNDARIA es la mediatriz del segmento [F,F’]. La DISTANCIA FOCAL es d(F,F’) = 2.c

17 Ecuación reducida de la Elipse
Si consideramos la elipse sobre un sistema de referencia plano, de forma que O sea el origen de coordenadas, y los ejes focal y secundario los ejes de abcisas y ordenadas, las coordenadas de los focos serán F(c,0) y F’(-c,0). Si las coordenadas de los puntos de la elipse son P(x,y)

18 Ecuación reducida de la Elipse

19 Ecuación reducida de la Elipse
Si tomamos como eje de abcisas el eje secundario, y como eje de ordenadas el eje focal, obtendríamos la ecuación reducida

20 Ecuación reducida de la Elipse
Si tomamos como centro de la elipse el punto O =(p,q), y los ejes focal y secundarios son paralelos a los ejes de abcisas y ordenadas respectivamente, obtenemos la ecuación Si tomamos como centro de la elipse el punto O =(p,q), y los ejes focal y secundarios son paralelos a los ejes de ordenadas y abcisas respectivamente, obtenemos la ecuación La EXCENTRICIDAD e de una elipse, es el cociente entre la semidistancia focal y el semieje mayor, es decir e = c / a. La excentricidad de la elipse será menor que 1 (cuanto más próxima a 1 será más achatada y cuanto más próxima a 0, se aproximará a una circunferencia)

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23 Hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS (F y F’) es constante La DISTANCIA FOCAL es d(F,F’) = 2.c Los VÉRTICES de la hipérbola (A, A’) son los puntos de intersección con el eje focal. La SEMIDISTANCIA FOCAL es c = d(O,F) = d(O,F’) El EJE FOCAL es la recta que contiene al segmento [F,F’]. El CENTRO O de la hipérbola es el punto medio del segmento [F,F’]. El EJE SECUNDARIA es la mediatriz del segmento [F,F’].

24 Ecuación reducida de la hipérbola
Si consideramos la hiperbola sobre un sistema de referencia plano, de forma que O sea el origen de coordenadas, y los ejes focal y secundario los ejes de abcisas y ordenadas, las coordenadas de los focos serán F(c,0) y F’(-c,0). Si las coordenadas de los puntos de la Parábola son P(x,y)

25 Ecuación reducida de la Hipérbola

26 Ecuación reducida de la Hipérbola
Si tomamos como eje de abcisas el eje secundario, y como eje de ordenadas el eje focal, obtendríamos la ecuación reducida

27 Ecuación reducida de la Hipérbola
Si tomamos como centro de la hipérbola el punto O =(p,q), y los ejes focal y secundarios son paralelos a los ejes de abcisas y ordenadas respectivamente, obtenemos la ecuación Si tomamos como centro de la Hipérbola el punto O =(p,q), y los ejes focal y secundarios son paralelos a los ejes de ordenadas y abcisas respectivamente, obtenemos la ecuación La EXCENTRICIDAD de de una hipérbola, es el cociente entre la semidistancia focal y el semieje mayor, es decir e = c / a.

28 Asíntotas de la Hipérbola
Se denomina Asíntota de una hipérbola a una recta que pasa por el centro de la misma y que es tangente a la hipérbola en el infinito. Dado que la asíntota pasa por el origen, será de la forma y = m x, y teniendo en cuenta que la ecuación reducida de la hipérbola es de la forma Igualando esta última expresión con y = m .x, y tomando límites, se obtiene Luego Cuando a = b, se obtiene las asíntotas y = ± x, es decir las bisectrices de los cuadrantes

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33 Parábola La Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta denominada directriz y un punto denominado FOCO (F) Se denomina VÉRTICE de la parábola al punto de intersección de la parábola con su eje La distancia entre el foco y la directriz se denomina PARÁMETRO (p) Se denomina EJE DE LA PARÁBOLA, a la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco

34 Ecuación reducida de la Parábola
Si consideramos la Parábola sobre un sistema de referencia plano, de forma que el vértice V sea el origen de coordenadas, el eje de abcisas la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y el eje de ordenadas la recta paralela a la directriz que pasa por el vértice V. Las coordenadas del foco serán F(p/2,0). Si las coordenadas de los puntos de la Parábola son P(x,y)

35 Ecuación reducida de la Parábola

36 Ecuación reducida de la Parábola
Si consideramos la Parábola sobre un sistema de referencia plano, de forma que el vértice V vértice sea el origen de coordenadas, el eje de abcisas la recta paralela a la directriz que pasa por el vértice V y el eje de ordenadas la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco , obtendríamos la ecuación reducida

37 Ecuación reducida de la Parábola
Si el vértice V de la parábola tiene coordenadas V(a,b). Si el eje y la directriz son paralelos a los ejes de abcisas y ordenadas respectivamente, la ecuación de la parábola será de la forma Si el eje y la directriz son paralelos a los ejes de ordenadas y abcisas respectivamente, la ecuación de la parábola será de la forma

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41 Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia ( En la siguiente diapósitiva

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44 Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas
Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina ( En la siguiente diapósitiva

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46 Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada (figuras de GeoGebra) ( En la siguiente diapósitiva

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