PROBABILIDAD.

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1 PROBABILIDAD

2 EXPERIMENTOS ALEATORIOS.
Cuando efectuamos un experimento el cual podemos predecir el resultado, decimos que es un EXPERIMENTO DETERMINISTA. Pero si en el resultado existe algún factor de incertidumbre, decimos que es un EXPERIMENTO ALEATORIO Ejemplo Si lanzamos dos dados el resultado de sumar sus dos caras superiores, es un experimento aleatorio, pues solamente sabemos que este resultado estará comprendido entre 2 y 12.

3 ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO.
El conjunto sobre el que queremos efectuar un experimento, lo denominamos POBLACIÓN, y lo solemos representar por . Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, se denomina ESPACIO MUESTRAL que solemos representar por E. Ejemplo Si efectuamos el experimento de lanzar dos dados, la población es:  = { {1,1}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, … , {{6,5}, {6,6} } El espacio muestral asociado a la suma de puntos obtenida es: E = { 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

4 Si E es un ESPACIO MUESTRAL denominamos:
SUCESOS ALEATORIOS. Si E es un ESPACIO MUESTRAL denominamos: SUCESO ELEMENTAL, a cualquier subconjunto de E de un solo elemento. SUCESO COMPUESTO, a cualquier subconjunto de E que contenga dos o mas elementos. SUCESO ALEATORIO, a cualquier resultado posible obtenido mediante uniones o intersecciones de suceso de E. Al conjunto E se le denomina SUCESO SEGURO y al  SUCESO IMPOSIBLE. Si consideramos el Espacio muestral asociado al lanzamiento de un dado. Obtener un resultado impar {1, 3, 5} es un SUCESO ALEATORIO. Ejemplo.-

5 OPERACIONES CON SUCESOS ALEATORIOS.
Si A y B son dos sucesos del espacio muestral E denominamos: SUCESO UNIÓN : A  B al suceso que contiene todos los elementos de A o de B. SUCESO INTERSECCIÓN : A  B al suceso que contiene todos los elementos de A y los de B. Si A  B = , decimos que A y B son INCOMPATIBLES, en otro caso decimos que son COMPATIBLES. Dos sucesos son CONTRARIOS si son incompatibles y su unión es . El suceso contrario del suceso A, se representa por A.

6 EJEMPLOS DE OPERACIONES CON SUCESOS ALEATORIOS.
Si lanzamos un dado y denominamos A al suceso de obtener un número impar, y B al suceso de obtener un número primo distinto de 1, como es A = { 1, 3, 5} y B = { 2, 3, 5}. El suceso A  B (obtener impar o primo distinto de 1) es: A  B = { 1, 2, 3, 5 }. Si lanzamos un dado y denominamos A al suceso de obtener un número impar, y B al suceso de obtener un número primo distinto de 1, como es A = { 1, 3, 5} y B = {2, 3, 5}. El suceso A  B (obtener impar y primo distinto de 1) es: A  B = { 3, 5 }.

7 PROBABILIDAD DE SUCESOS ELEMENTALES EQUIPROBABLES.
Cuando efectuamos un experimento aleatorio, podemos asignar un medida de incertidumbre a cada uno de los sucesos. A dicha medida le denominamos PROBABILIDAD. En el caso de experimentos en los que los que la población sea finita, y sus elementos equiprobables, todos los suceso elementales tienen la probabilidad de 1/n, donde n el número de elementos de . Ejemplo.- Si lanzamos un dado supuestamente equilibrado, la probabilidad de obtener el número 3 es P({3}) = 1/6. Si lanzamos un moneda supuestamente equilibrada, la probabilidad de obtener cara es P(cara) = 1/2. La probabilidad de extraer sota de copas de una baraja española es 1/40.

8 PROBABILIDAD DE SUCESOS EQUIPROBABLES.
En el caso de experimentos en los que los que la población sea finita, y sus elementos equiprobables, como todos los sucesos compuestos contienen un número determinado de sucesos elementales. La probabilidad de que ocurra un suceso A que contiene r sucesos elementales es r/n, donde n el número de elementos de . Esta probabilidad, se denomina PROBABILIDAD CLÁSICA, y se representa por la siguiente fórmula (REGLA DE LAPLACE): Ejemplo.- Si lanzamos un dado supuestamente equilibrado, la probabilidad de obtener un número PAR es P({PAR}) = 3/6.

9 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD.
Para cualquier suceso aleatorio A se cumple: Para cualquier población  de un experimento aleatorio se cumple: Para cualquier suceso aleatorio A = { a1, a2, … , ar } compuesto por r sucesos elementales cumple: Si A y B son sucesos aleatorios incompatibles se cumple:

10 EJEMPLO DE APLICACIÓN DE PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD.
Si extraemos una carta de una baraja española, como cada palo tiene 10 cartas, si denominamos por O y C, a los sucesos de sacar oros y copas, se cumplirá:

11 PROBABILIDAD CONDICIONADA
Si E es un suceso aleatorio, para cualquier suceso aleatorio A, la probabilidad de que ocurra a condicionada a que ha sucedido E es: Hay que tener en cuenta que si A y E son sucesos independientes, como se cumple P(A  E) = P(A) P(E), y por tanto se cumplirá: P(A/E) = P(A) De donde se deduce que si A y E son sucesos dependientes se cumple P(A/E)  P(E) Tal y como sucede en el ejemplo, pues: P(A) = 11 / 36  2 / 5 = P(A/E) EJEMPLO.- En el lanzamiento de dos dados queremos calcular la probabilidad de que si la suma de los resultados obtenidos en sus caras superiores sea 6, uno al menos sea 2. Es equivalente a calcular la probabilidad de salga un 2, condicionado a que la suma sea 6. Si denotamos: E = {(1,5)(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}. A= (2,1)(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2)(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}. Como A  E = {(2,4),(4,2)} Se cumplirá

12 REGLA MULTIPLICATIVA DE LA PROBABILIDAD.
La probabilidad de un suceso aleatorio compuesto es el producto de las probabilidades condicionadas o simples. Por ejemplo, consideremos el experimento de lanzar una moneda y si sale cara (C) volver a lanzarla, y si sale cruz (F) lanzar un dado. Cuyas probabilidades podemos representar: C F 1 2 3 4 5 6 ½ ½ 1/6 La probabilidad de que salga cruz y 1, es P ( C  {1} ) = ½ . (1/6) = (1/12)

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