FUNCIONES.

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1 FUNCIONES

2 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
UNA FUNCIÓN f REAL DE VARIABLE REAL, es una correspondencia entre dos conjuntos reales A y B, que asocia a cada elemento x de A un solo elemento y de B. Y se simboliza por: f : A  B : x  y = f (x) A los elementos x  A, se le denomina VARIABLE INDEPENDIENTE, y a los elementos y  B VARIABLE DEPENDIENTE. La ECUACIÓN de la FUNCIÓN y = f(x), es la relación algebraica entre x e y, donde: Dominio de f = D f = { x  A : existe y  B tal que y = f(x) } Imagen o recorrido de f = R f = { y  B : existe x  A tal que y = f(x) } Si x es tal que y = f (x), y es la IMAGEN de x, y x es la ANTIMAGEN de y Si una función viene definida solamente por su ecuación y = f(x), el DOMINIO de f, será el conjunto más amplio de los números reales, para los cuales está definida f

3 Ejemplo:

4 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Dada una función real f (x), al conjunto de puntos del plano Cartesiano: { ( x , f(x) ) : x  D f } Se le denomina GRÁFICA de la función f. Es decir, la GRÁFICA de una función son todos los puntos del plano cartesiano, cuyas coordenadas son (x , f(x) ) “ ó ( x, y ) donde y = f(x) “. El conjunto de la abscisas lo compone el Domino de f, y el conjunto de las ordenadas el Recorrido de f

5 Ejemplo: (0, f(0) ) = ( 0 , 9 ) (-5, f(-5) ) = ( -5 , 4 )
Eje de ordenadas Eje de abcisas (-3, f(-3) ) = ( -3 , 0 )

6 PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES
Una función f(x) es MONÓTONA CRECIENTE en un intervalo (a,b) cuando para cada x, y  (a,b) si x < y, entonces f (x) < f (y). Una función f (x) es MONÓTONA DECRECIENTE en un intervalo (a,b) cuando para cada x, y  (a,b) si x < y, entonces f (x) > f (y). Una función f(x) es MONÓTONA en un intervalo (a,b) cuando es MONÓTONA CRECIENTE ó MONÓTONA DECRECIENTE. Una función f(x) tiene un MÁXIMO RELATIVO en un punto M, cuando existe un intervalo (a,b) tal que M  (a,b) y para cada x  (a,M) o  (M,b) será f(x) < f(M) Una función f (x) tiene un MÍNIMO RELATIVO en un punto M, cuando existe un intervalo (a,b) tal que M  (a,b) y para cada x  (a,M) o  (M,b) será f(x) > f(M)

7 Ejemplo. La siguiente función
Es monótona creciente en (0,2) y en (5,8) y monótona decreciente en (2,5). Tiene un máximo relativo en x = 2, y x = 8, y tiene un mínimo relativo en x = 5.

8 PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES
Una función f(x) es PAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE OY, cuando para cada x se cumple que f (x) = f (-x). Una función f(x) es IMPAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL ORIGEN DE COORDENADAS, cuando para cada x se cumple que f (x) = - f (-x). Una función f(x) es CONTINUA en un intervalo, si su gráfica es continua en dicho intervalo. Los puntos en los que se interrumpe la gráfica, se denominan PUNTOS de DISCONTINUIDAD.

9 Ejemplo. La función La función Es una función PAR Es una función IMPAR

10 Ejemplo. La siguiente función
Es continua en (-3,0) y en [0,1) y es discontinua en x = 0

11 FUNCIONES POLINÓMICAS ELEMENTALES.
Las funciones polinómicas son de la forma: f (x) = a n x n + a n - 1 x n … + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 Donde, a n , a n - 1 , … , a 2 , a 1 , a 0 son números reales. La función f(x) = a, con a un número real, se denomina función CONSTANTE. La función f (x) = a x (html), con a un número real, se denomina función LINEAL (html). La función f (x) = a x + b (html), con a y b números reales, se denomina función AFÍN (html). La función f (x) = a x 2 + b x + c, con a, b y c números reales, se denomina función CUADRÁTICA (html). PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

12 Ejemplos Gráficos de funciones polinómicas

13 FUNCIONES RACIONALES ELEMENTALES.
Las funciones racionales son de la forma: P(x) f(x) = con P(x) y Q(x) (“grado(Q)  1”) polinomios. Q(x) Estas funciones se define para todos los números reales que no se anule el denominador. Ejemplos:

14 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.
Las funciones de proporcionalidad inversa, son funciones racionales de la forma: k f(x) = con k un número constante. x Estas funciones tiene por DOMINIO todos los números reales salvo el 0. Ejemplo:

15 TRASLACIÓN DE FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.
Las gráfica de la función de proporcionalidad inversa, de la forma: k f(x) = b con k un número constante. x - a Es la traslación de la gráfica de la función k/x mediante el vector (a,b) Ejemplo: Gráfica en Geogebra de: k f(x) = b x - a se puede variar a, b y k.

16 FUNCIONES DEFINIDAS POR INTERVALOS
En ocasiones, nos interesa estudiar funciones definidas por intervalos. Ejemplo:

17 TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE FUNCIONES.

18 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

19 OPERACIONES DE LAS FUNCIONES.
Si f y g son funciones reales de variable real, tales que tiene el mismo dominio, podemos definir las siguientes operaciones que definen a su vez una función: Suma f + g , que se define como (f+g) (x) = f(x) + g(x)  x  D f = D g Resta f - g , que se define como (f-g) (x) = f(x) - g(x)  x  D f = D g Producto f g , que se define como (f g) (x) = f(x) g(x)  x  D f = D g Cociente f / g , que se define como (f /g) (x) = f(x) / g(x)  x  D f = D g Siempre que sea g(x)  0  x  D f = D g Ejemplo:

20 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dada las funciones reales: f : A  B y g : B  C Definimos, la composición de funciones (g  f ) a la función: (g  f ) : A  C Tal que (g  f ) (x) = g(f(x))  x  D f “ f(x)  D g ” Ejemplo:

21 Ejemplo: Dada las funciones reales: f : A  B y g : B  A
FUNCIONES INVERSAS Dada las funciones reales: f : A  B y g : B  A Definimos, que f y g son funciones inversas si se cumple: (g  f ) (x) = x (f  g) (y) = y Donde f(x) = y Si g es la función inversa de f, g se representa por f -1 Ejemplo:

22 Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia ( En la siguiente diapósitiva

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30 Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada (figuras de GeoGebra) ( En la siguiente diapósitiva

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32 Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas
Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina ( En la siguiente diapósitiva

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