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FUNCIONES. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL UNA FUNCIÓN f REAL DE VARIABLE REAL, es una correspondencia entre dos conjuntos reales A y B, que asocia.

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1 FUNCIONES

2 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL UNA FUNCIÓN f REAL DE VARIABLE REAL, es una correspondencia entre dos conjuntos reales A y B, que asocia a cada elemento x de A un solo elemento y de B. Y se simboliza por: f : A B : x y = f (x) A los elementos x A, se le denomina VARIABLE INDEPENDIENTE, y a los elementos y B VARIABLE DEPENDIENTE. La ECUACIÓN de la FUNCIÓN y = f(x), es la relación algebraica entre x e y, donde: Dominio de f = D f = { x A : existe y B tal que y = f(x) } Imagen o recorrido de f = R f = { y B : existe x A tal que y = f(x) } Si x es tal que y = f (x), y es la IMAGEN de x, y x es la ANTIMAGEN de y Si una función viene definida solamente por su ecuación y = f(x), el DOMINIO de f, será el conjunto más amplio de los números reales, para los cuales está definida f

3 Ejemplo:

4 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Dada una función real f (x), al conjunto de puntos del plano Cartesiano: { ( x, f(x) ) : x D f } Se le denomina GRÁFICA de la función f. Es decir, la GRÁFICA de una función son todos los puntos del plano cartesiano, cuyas coordenadas son (x, f(x) ) ó ( x, y ) donde y = f(x). El conjunto de la abscisas lo compone el Domino de f, y el conjunto de las ordenadas el Recorrido de f

5 Ejemplo: (-3, f(-3) ) = ( -3, 0 ) Eje de abcisas Eje de ordenadas (-5, f(-5) ) = ( -5, 4 ) (0, f(0) ) = ( 0, 9 )

6 PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES Una función f(x) es MONÓTONA CRECIENTE en un intervalo (a,b) cuando para cada x, y (a,b) si x < y, entonces f (x) < f (y). Una función f (x) es MONÓTONA DECRECIENTE en un intervalo (a,b) cuando para cada x, y (a,b) si x < y, entonces f (x) > f (y). Una función f(x) es MONÓTONA en un intervalo (a,b) cuando es MONÓTONA CRECIENTE ó MONÓTONA DECRECIENTE. Una función f(x) tiene un MÁXIMO RELATIVO en un punto M, cuando existe un intervalo (a,b) tal que M (a,b) y para cada x (a,M) o (M,b) será f(x) < f(M) Una función f (x) tiene un MÍNIMO RELATIVO en un punto M, cuando existe un intervalo (a,b) tal que M (a,b) y para cada x (a,M) o (M,b) será f(x) > f(M)

7 Ejemplo. La siguiente función Es monótona creciente en (0,2) y en (5,8) y monótona decreciente en (2,5). Tiene un máximo relativo en x = 2, y x = 8, y tiene un mínimo relativo en x = 5.

8 PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES Una función f(x) es PAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE OY, cuando para cada x se cumple que f (x) = f (-x). Una función f(x) es IMPAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL ORIGEN DE COORDENADAS, cuando para cada x se cumple que f (x) = - f (-x). Una función f(x) es CONTINUA en un intervalo, si su gráfica es continua en dicho intervalo. Los puntos en los que se interrumpe la gráfica, se denominan PUNTOS de DISCONTINUIDAD.

9 Ejemplo. La función Es una función PAR La función Es una función IMPAR

10 Ejemplo. La siguiente función Es continua en (-3,0) y en [0,1) y es discontinua en x = 0

11 FUNCIONES POLINÓMICAS ELEMENTALES. Las funciones polinómicas son de la forma: f (x) = a n x n + a n - 1 x n … + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 Donde, a n, a n - 1, …, a 2, a 1, a 0 son números reales. La función f(x) = a, con a un número real, se denomina función CONSTANTE. La función f (x) = a x (html), con a un número real, se denomina función LINEAL (html). La función f (x) = a x + b (html), con a y b números reales, se denomina función AFÍN (html). La función f (x) = a x 2 + b x + c, con a, b y c números reales, se denomina función CUADRÁTICA (html). PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

12 Ejemplos Gráficos de funciones polinómicas

13 FUNCIONES RACIONALES ELEMENTALES. Las funciones racionales son de la forma: P(x) f(x) = con P(x) y Q(x) (grado(Q) 1 ) polinomios. Q(x) Estas funciones se define para todos los números reales que no se anule el denominador. Ejemplos:

14 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. Las funciones de proporcionalidad inversa, son funciones racionales de la forma: k f(x) = con k un número constante. x Estas funciones tiene por DOMINIO todos los números reales salvo el 0. Ejemplo:

15 TRASLACIÓN DE FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. Las gráfica de la función de proporcionalidad inversa, de la forma: k f(x) = b con k un número constante. x - a Es la traslación de la gráfica de la función k/x mediante el vector (a,b) Ejemplo: Gráfica en Geogebra de: k f(x) = b x - a se puede variar a, b y k.

16 FUNCIONES DEFINIDAS POR INTERVALOS En ocasiones, nos interesa estudiar funciones definidas por intervalos. Ejemplo:

17 TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE FUNCIONES.

18 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

19 OPERACIONES DE LAS FUNCIONES. Si f y g son funciones reales de variable real, tales que tiene el mismo dominio, podemos definir las siguientes operaciones que definen a su vez una función: Suma f + g, que se define como (f+g) (x) = f(x) + g(x) x D f = D g Resta f - g, que se define como (f-g) (x) = f(x) - g(x) x D f = D g Producto f g, que se define como (f g) (x) = f(x) g(x) x D f = D g Cociente f / g, que se define como (f /g) (x) = f(x) / g(x) x D f = D g Siempre que sea g(x) 0 x D f = D g Ejemplo:

20 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dada las funciones reales: f : A B y g : B C Definimos, la composición de funciones (g f ) a la función: (g f ) : A C Tal que (g f ) (x) = g(f(x)) x D f f(x) D g Ejemplo:

21 FUNCIONES INVERSAS Dada las funciones reales:f : A B y g : B A Definimos, que f y g son funciones inversas si se cumple: (g f ) (x) = x (f g) (y) = yDonde f(x) = y Si g es la función inversa de f, g se representa por f -1 Ejemplo:

22 Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia ( ) En la siguiente diapósitiva

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30 Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada (figuras de GeoGebra) ( msadaall/geogebra/) En la siguiente diapósitiva

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32 Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina (http://www.dmae.upct.es/~juan/m atematicas.htm) En la siguiente diapósitiva

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