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LA CIRCUNFERENCIA UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 5 Departamento de Ciencias Formales Matemáticas IV Cursos de Nivelación Ing. Jaime.

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1 LA CIRCUNFERENCIA UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 5 Departamento de Ciencias Formales Matemáticas IV Cursos de Nivelación Ing. Jaime Acosta Vélez

2 Las Cónicas Se obtienen haciendo diferentes cortes un Cono, estas figuras pueden ser: 1.- La Circunferencia 2.- La Elipse 3.- La Parábola 4.- La Hipérbola

3 Las Cónicas 1.- Cuando el corte se hace paralelo a la base del cono entonces la figura que resulta será Una Circunferencia.

4 Las Cónicas 2.- Si el Corte se realiza con un ángulo diferente a 0° o 180° con respecto a la base del cono, entonces la figura que resulta será una Elipse.

5 Las Cónicas 3.- Si el corte es paralelo a una de las Generatrices entonces la figura será una Parábola

6 Las Cónicas 3.- Si el corte es paralelo al eje que pasa por el vértice del cono entonces la figura será una Hipérbola.

7 Las Cónicas En esta ocasión, solo estudiaremos a la Circunferencia

8 LA CIRCUNFERENCIA Múltiples figuras se relacionan con la Circunferencia

9 LA CIRCUNFERENCIA

10 Centro Línea Curva cerrada formada por un Conjunto de puntos colocados a una misma distancia (llamada Radio) de un punto interior (llamado Centro) Radio

11 LA CIRCUNFERENCIA Cuando cambia el Radio cambia el tamaño de la Circunferencia

12 LA CIRCUNFERENCIA Cuando cambia el Centro cambia la Posición de la Circunferencia

13 LA CIRCUNFERENCIA Cuando cambia el Centro cambia la Posición de la Circunferencia

14 LA CIRCUNFERENCIA Cuando cambia el Centro cambia la Posición de la Circunferencia

15 LA CIRCUNFERENCIA Parámetros de la Circunferencia Centro: Cambia de posición Radio: Cambia de Tamaño

16 LA CIRCUNFERENCIA Posiciones de la Circunferencia en el Plano Cartesiano Centro fuera del origen y de los ejes: Ecuación Canónica Ecuación Homogénea Centro sobre alguno de los Ejes: En la parte Positiva del eje X En la parte Negativa del eje X En la parte Positiva del eje Y En la Parte Negativa del eje Y Ecuación en su Forma General Ecuación en su Forma Particular Centro sobre el origen del Sistema Cartesiano:

17 LA CIRCUNFERENCIA Forma Canónica : (X – h)² + (Y – k)² = R²

18 LA CIRCUNFERENCIA Forma Homogénea: Si se elevan los cuadrados de la ecuación anterior se obtiene: (X² - 2hX + h²) + (Y² - 2kY + k²) = R² Separando y reagrupando términos e igualando a cero: X² + Y² - 2hX - 2kY + h² + k² - R² = 0 Considerando: -2h = D -2k = E y h² + k² - R² = F (X – h)² + (Y – k)² = R² X² + Y² + DX + EY + F = 0

19 LA CIRCUNFERENCIA Ecuación de la Circunferencia con centro en la parte positiva del eje X: Si la Circunferencia tiene su centro en la parte positiva del eje X entonces: C(h, 0) Y de la ecuación: (X – h)² + (Y – k)² = R² Se obtiene: (X – h)² + (Y – 0)² = R² (X – h)² + Y² = R² Elevando cuadrados y reagrupando: (X² - 2hX + h²) + Y² = R² X² + Y²- 2hX + h² - R² = 0 como: -2h = D y h² - R² = F porque k = 0 Se obtiene la Ecuación: X² + Y² + DX + F = 0

20 LA CIRCUNFERENCIA Ecuación de la Circunferencia con centro en la parte positiva del eje Y: Si la Circunferencia tiene su centro en la parte positiva del eje Y entonces: C(0, k) Y de la ecuación: (X – h)² + (Y – k)² = R² Se obtiene: (X – 0)² + (Y – k)² = R² X² + (Y – k)² = R² Elevando cuadrados y reagrupando: X² + Y² - 2kY + k² = R² X² + Y²- 2kY + k² - R² = 0 como: -2k = E y k² - R² = F porque h = 0 Se obtiene la Ecuación: X² + Y² + EY + F = 0

21 LA CIRCUNFERENCIA Ecuación de la Circunferencia con centro en la parte negativa del eje X: Si la Circunferencia tiene su centro en la parte Negativa del eje X entonces: C(-h, 0) Y de la ecuación: (X – h)² + (Y – k)² = R² Se obtiene: (X – h))² + (Y – 0)² = R² (X - h)² + Y² = R² elevando cuadrados y reagrupando: X² + Y² - 2hX + h² = R² X² + Y² - 2hX + h² - R² = 0 como: -2h = D y h² - R² = F porque k = 0 Se obtiene la Ecuación: X² + Y² + DX + F = 0

22 LA CIRCUNFERENCIA Ecuación de la Circunferencia con centro en la parte negativa del eje Y: Si la Circunferencia tiene su centro en la parte Negativa del eje Y entonces: C(0, - k) Y de la ecuación: (X – h)² + (Y – k)² = R² Se obtiene: (X – 0))² + (Y – k)² = R² X² + (Y – k)² = R² Elevando cuadrados y reagrupando: X² + Y² - 2kY + k² = R² X² + Y² - 2kY + k² - R² = 0 como: -2k = E y k² - R² = F porque h = 0 Se obtiene la Ecuación: X² + Y² + EY + F = 0

23 LA CIRCUNFERENCIA Ecuación de la Circunferencia con centro en el Origen: Si la Circunferencia tiene su centro en el Origen del Sistema Cartesiano entonces: C(0, 0) Y de la ecuación: (X – h)² + (Y – k)² = R² Se obtiene: (X – 0))² + (Y – 0)² = R² Se obtiene la Ecuación: X² + Y² = R²

24 LA CIRCUNFERENCIA Ejemplos: 1.Dados los puntos A(-1,3) y B(3,3) correspondientes a los extremos del diámetro de una circunferencia. ¿Cuál es la ecuación de dicha circunferencia? Punto medio de AB: Por lo tanto el Centro es: C( 1, 3) de donde h = 1 y k = 3 De la formula de distancia entre dos puntos : Por lo Tanto Sustituyendo en la ecuación : (X – h)² + (Y – k)² = r² (X – 1)² + (Y – 3)² = 2² Desarrollando cuadrados y ordenando: X² - 2X Y² - 6Y + 9 = 4 X² + Y² - 2X -6Y – 4 = 0 Por lo tanto: X² + Y² - 2X -6Y + 6 = 0 será la ecuación de la circunferencia.

25 LA CIRCUNFERENCIA 2.- Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto de intersección de las rectas: Ejemplos: x – 2y – 1 = 0, y x + 3y – 6 = 0 Por simultáneas se obtiene: - x - 3y + 6 = 0 x – 2y – 1 = 0 (x + 3y – 6 = 0)-1 0 – 5y + 5 = 0 x + 3y – 6 = 0 x – 2y – 1 = 0 y = 1 x = 3 Por lo tanto el centro se encuentra en: C(3, 1) de ahí que h =3 y k = 1 De la formula de distancia entre dos puntos: de la ecuación: (X – h)² + (Y – k)² = r² (X – 3)² + (Y – 1)² = 3.16² X² - 6X Y² - 2Y + 1 = 10 X² + Y²- 6X - 2Y = 10 X² + Y²- 6X - 2Y = 0 Por lo tanto: X² + Y² - 6X -2Y = 0 será la ecuación de la circunferencia.

26 LA CIRCUNFERENCIA 3.- Determinar si la ecuación 2x² + 2y² + 4x + 8y - 4 = 0, pertenece a una circunferencia y si es, obtener su centro y su radio. Ejemplos: Agrupamos términos los valores de X y de Y: (x² + 2x )+ (y² + 4y) - 2 = 0 Completamos cuadrados y restamos para no alterar: (x² + 2x + 1 )+ (y² + 4y + 4) = 0 La llevamos a la forma general X² + Y² + DX + EY + F = 0 dividiendo entre 2 y obtenemos: x² + y² + 2x + 4y - 2 = 0 Factorizamos y reducimos: (x + 1)² +(y + 2)² - 7 = 0 La llevamos a su forma canónica y comparamos término a termino: (x + 1)² +(y + 2)² = 7 (x + h)² +(y + k)² = r² de donde se obtiene que: C(h, k) es C(-1, -2) y el radio es

27 LA CIRCUNFERENCIA Como el radio es positivo y mayor que cero entonces si se trata de una circunferencia Cuyo radio es R = 2.64 y el centro es C(-1, -2)


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