TRIGONOMETRÍA Mariano Benito.

Presentación del tema: "TRIGONOMETRÍA Mariano Benito."— Transcripción de la presentación:

1 TRIGONOMETRÍA Mariano Benito

2 MEDIDAS DE ÁNGULOS GRADO:
1 Grado es la medida del ángulo que es 1/90 del ángulo recto. Ángulo recto 1º = 60 minutos = 60’ 1º 1’ = 60 segundos = 60’’ RADIÁN: Radio 1 Radián es la medida del ángulo cuyos lados abarcan un arco que mide igual que el radio de la circunferencia que lo ha trazado. 1 Radián Radio EQUIVALENCIAS: Circunferencia = Radianes Media Circunferencia =Ángulo Llano = Radianes Radianes 1/4 de Circunferencia =Ángulo Recto = Mariano Benito

3 π/4 radianes, 1 radián. (Pasar a diapositiva 4).
EJERCICIOS: 1.- Convierte en grados, minutos y segundos los siguientes radianes: 3π radianes, π/4 radianes, 1 radián. (Pasar a diapositiva 4). 2.- Convierte en radianes los siguientes ángulos sexagesimales: 70º, 135º, 330º. Los demás apartados, ¡hazlos tú! Mariano Benito

4 ¿Cuántos grados, minutos y segundos es 1 radián?
Ejercicio ¿Cuántos grados, minutos y segundos es 1 radián? º 314 ’ 314 ’’ 314 1 0 2º 57º 1 5 4’ 19’ 1 3 4’’ 29’’ 102 x 60 = 6120’ 154 x 60 = 9240’’ Mariano Benito

5 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
b b c c ¿Cuántas veces está a contenido en b? ¿Cuántas veces está a contenido en c? ¿Cuántas veces está c contenido en b? Mariano Benito

6 Halla tú las del ángulo β.
EJERCICIOS: 3.- Halla las razones trigonométricas de los ángulos marcados en los siguientes triángulos: β 12.5 5 10 β 4 α α 3 7.5 Halla tú las del ángulo β. Mariano Benito

7 Son triángulos semejantes
LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO NO DEPENDEN DEL TRIÁNGULO DONDE ESTÉ DIBUJADO. Son triángulos semejantes a b c 1 b’ c’ Mariano Benito

8 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
b c Mariano Benito

9 EJERCICIOS: 4.- Sabiendo que senx = 0.8, calcula las demás razones trigonométricas de x. 5.- Sabiendo que tgx = 1.5, calcula las demás razones trigonométricas de x. Emplea la calculadora para averiguar de qué ángulo se trata en los dos ejercicios. Mariano Benito

10 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DE 45º
Hipotenusa: L 45º L Mariano Benito

11 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 30º Y 60º
Dividimos el triángulo equilátero con su altura h 30º 30º L L h 60º 60º L/2 L/2 L Mariano Benito

12 VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES
0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360 º Seno 1 -1 Coseno Tangente Mariano Benito

13 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1
en el primer cuadrante 90º 180º 0º 270º Mariano Benito

14 Las tres razones son positivas y con la calculadora obtenemos:
EJERCICIOS: 6.- Dibuja el ángulo de 65º en la circunferencia unidad. Dibuja sus razones trigonométricas y fíjate en el signo que tienen. Comprueba los resultados con la calculadora. tg65º Las tres razones son positivas y con la calculadora obtenemos: sen65º = 0,906 cos65º = 0,423 tg65º = 2,145 sen65º 65º 1 cos65º Haz lo mismo con el ángulo de 20º. Mariano Benito

15 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1
en el segundo cuadrante 90º 180º 0º 270º Mariano Benito

16 El seno es positivo; el coseno y la tangente son negativas.
EJERCICIOS: 7.- Dibuja el ángulo de 120º en la circunferencia unidad. Dibuja sus razones trigonométricas y fíjate en el signo que tienen. Comprueba los resultados con la calculadora. El seno es positivo; el coseno y la tangente son negativas. Su valor es: sen120º = 0,866 cos120º = -0,5 tg120º = -1,732 sen120º 120º cos120º tg120º Haz lo mismo con el ángulo de 150º. Mariano Benito

17 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1
90º 180º 0º en el tercer cuadrante 270º Mariano Benito

18 El seno y el coseno son negativos. La tangente es positiva.
EJERCICIOS: 8.- Dibuja el ángulo de 210º en la circunferencia unidad. Dibuja sus razones trigonométricas y fíjate en el signo que tienen. Comprueba los resultados con la calculadora. El seno y el coseno son negativos. La tangente es positiva. Su valor es: sen210º = -0,5 cos210º = -0,866 tg210º = 0,577 210º tg210º cos210º sen210º Haz lo mismo con el ángulo de 225º. Mariano Benito

19 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1
90º 180º 0º en el cuarto cuadrante 270º Mariano Benito

20 El seno y la tangente son negativos. El coseno es positivo.
EJERCICIOS: 9.- Dibuja el ángulo de 315º en la circunferencia unidad. Dibuja sus razones trigonométricas y fíjate en el signo que tienen. Comprueba los resultados con la calculadora. El seno y la tangente son negativos. El coseno es positivo. Su valor es: sen315º = -0,707 cos315º = 0,707 tg315º = -1 315º cos315º sen315º tg315º Haz lo mismo con el ángulo de 330º. Mariano Benito

21 SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Seno + + _ _ Coseno _ + _ + Tangente _ + _ + Mariano Benito

22 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS OPUESTOS
Dos ángulos a y b son opuestos si a + b = 0º (o 360º). Son a y -a. sen (-a) = -sen a cos (-a) = cos a tg (-a) = -tg a a -a EJEMPLO: sen 330º = sen (-30º) = -sen 30º cos 330º = cos (-30º) = cos 30º tg 330º = tg (-30º) = -tg 30º Mariano Benito

23 Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a.
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a. sen (90º-a) = cos a cos (90º-a) = sen a tg (90º-a) = 1/tg a EJEMPLO: 90º-a a sen 60º = cos 30º cos 60º = sen 30º tg 60º = 1/tg 30º Mariano Benito

24 Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a.
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a. sen (180º-a) = sen a cos (180º-a) = -cos a 180º-a tg (180º-a) = -tg a a EJEMPLO: sen 150º = sen 30º cos 150º = -cos 30º tg 150º = -tg 30º Mariano Benito

25 Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a.
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a. sen (180º+a) = -sen a cos (180º+a) = -cos a 180º+a tg (180º+a) = tg a a EJEMPLO: sen 210º = -sen 30º cos 210º = -cos 30º tg 210º = tg 30º Mariano Benito

26 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS MAYORES QUE 360º.
Si queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo α >360º, primero calculamos las vueltas completas que dicho ángulo da a la circunferencia, para lo que dividiremos α entre 360º α 360º es decir, α = 360ºn + r r n Lo que quiere decir que el ángulo α da n vueltas completas a la circunferencia más un ángulo de r. Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de 750º. 750º = 360º º sen750º = sen30º = cos750º = cos30º = 750º tg750º = tg30º = Mariano Benito