CLASE 19 PARTE 1: DESARROLLO DE TAYLOR EN VARIAS VARIABLES. Enunciado.

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1 CLASE 19 PARTE 1: DESARROLLO DE TAYLOR EN VARIAS VARIABLES. Enunciado.
Bibliografía de la Clase 19: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.4, parágrafo 33. Ejercicios para las clase 19 Práctico 5 del año 2006 Cálculo Diferencial e Integral II Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

2 Sea , donde D es abierto, a es un punto de D, y sea Para todo punto se cumple: TEOREMA. Desarrollo de Taylor en varias variables. Si f es de clase entonces:

3 DEFINICIÓN. Polinomio de Taylor de grado
de f(p) en torno de p=a es: Por el teorema de desarrollo de Taylor: es el error cometido al sustituir f(p) por el polinomio de Taylor. Es un infinitésimode orden mayor que

4 FÓRMULA DE LAGRANGE PARA EL RESTO.
Vale para funciones reales.

5 CASO PARTICULAR: Función real de dos variables reales

6 CLASE 19 PARTE 2: DESARROLLO DE TAYLOR EN VARIAS VARIABLES. Ejemplo.
Bibliografía de la Clase 19: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.4, parágrafo 33. Ejercicios para las clase 19 Práctico 5 del año 2006 Cálculo Diferencial e Integral II Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

7 EJEMPLO. Hallar el polinomio de Taylor hasta grado 3 en
torno de (0,0) de la función

8 OTRA FORMA. La serie geométrica de razón u es:
Integrando en v para v en el intervalo [0,1]

9 Teníamos: Por otro lado: sigue

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11 EN VARIAS VARIABLES. Demostración.
CLASE 19 PARTE 3: DESARROLLO DE TAYLOR EN VARIAS VARIABLES. Demostración. Bibliografía de la Clase 19: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.4, parágrafo 33. Ejercicios para las clase 19 Práctico 5 del año 2006 Cálculo Diferencial e Integral II Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

12 Dem. del desarrollo de Taylor para varias variables.
Sea fijo un punto Definimos la siguiente función auxiliar en una sola variable real t, y calculamos sus derivadas (1) sigue

13 Aplicando el desarrollo de Taylor de
en una sola variable t: Dado llamemos (1) sigue

14 A probar que Fórmula de Lagrange, que probamos después para el resto de cada una de las coordenadas de f

15 Teníamos:

16 Dem. Fórmula de Lagrange para el resto en varias variables.