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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Aplicación de la Derivada Extremos locales. Teorema del valor medio.

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Presentación del tema: "Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Aplicación de la Derivada Extremos locales. Teorema del valor medio."— Transcripción de la presentación:

1 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Aplicación de la Derivada Extremos locales. Teorema del valor medio

2 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Habilidades 1.Define el concepto de extremos locales 2.Define el Teorema del valor extremo. Ilustra su significado geométricamente. 3.Define e interpreta el Teorema de Fermat. 4.Define el teorema de Rolle y generaliza al teorema del valor medio. 5.Calcula puntos críticos analizando premisas. 2

3 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ejemplo Ubique los puntos de máximo y mínimo absoluto de f : 3 A B C D E F G H

4 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Se dice que cD es un punto de máximo absoluto de f si para todo x D. Valores máximos y mínimos Sea D el dominio de f. El número f(c) se llama valor máximo absoluto de f en D. Se dice que cD es un punto de mínimo absoluto de f si para todo x D. El número f(c) se llama valor mínimo absoluto de f en D. Los valores máximo y mínimo se conocen genéricamente como valores extremos absolutos de f. Definición 4

5 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ejemplo Ubique los puntos de máximo y mínimo local de f : y x abc dhk 5

6 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Valores máximos y mínimos locales Se dice que c es un punto de máximo relativo o local de f si para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c. Se dice que c es un punto de mínimo relativo o local de f si para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c. Definición Los valores máximo y mínimo locales se conocen genéricamente como valores extremos locales de f. 6

7 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ejemplo máximo absoluto puntos de máximo absoluto y x a c1c1 b c2c2 c3c3 c4c4 d1d1 d2d2 d3d3 puntos de mínimo local 7

8 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ejemplo y x ¿Tiene f extremos locales?, ¿tiene extremos absolutos? 8

9 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Teorema del valor extremo Si f es continua en [a, b] entonces: f alcanza un máximo absoluto f (c) y un mínimo absoluto f (d) en algunos números c y d de [a, b]. y x a b y x a b y x ab Teorema ¿Se dan las condiciones para que se cumpla el teorema? 9

10 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Teorema de Fermat Si f tiene un extremo local en c y si f (c) existe entonces: y x c1c1 c2c2 c3c3 Teorema 10

11 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Teorema del valor medio 2 Derivable en (a, b). 1 Continua en [a, b]. Sea f: Existe c (a, b) tal que Entonces Teorema y x a b c2c2 c1c1 11

12 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Teorema de Rolle Sea f : 1 Continua en [a, b]. 2 Derivable en (a, b). Entonces Existe c (a, b) tal que Teorema 3 f (a)=f (b). y x a b c1c1 c2c2 12

13 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ejemplos 13 1.Muestre que 5 es un número critico de la función pero g no tiene un extremo local en Utilizando el resultado del teorema del valor medio, determine la recta tangente a f, paralela a la recta secante que une los extremos del intervalo.

14 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Puntos críticos Un punto crítico de una función f es un número c en su dominio tal que: Definición Teorema Si f tiene un extremo local en c entonces c es un punto crítico de f. 14

15 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ejemplo y x a c1c1 c2c2 c3c3 c4c4 c2c2 c5c5 c6c6 c7c7 puntos críticos 15

16 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ejemplo puntos de extremo y x a c1c1 c2c2 c3c3 c4c4 c2c2 c5c5 c6c6 c7c7 16

17 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ejemplo Encuentre los puntos críticos de la función: 17

18 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Extremos absolutos Para hallar los extremos absolutos de una función f continua en [a, b]: 1 Halle los valores de f en los puntos críticos de f en. 2 Halle f(a) y f(b). 3 El mayor de los valores obtenidos en 1 y 2 es el máximo absoluto de f en [a, b]. El más pequeño es el mínimo absoluto. Método del intervalo cerrado 18

19 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ejemplo Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de la función: 19 Valor máximo absoluto: 17 Se alcanza en x=4 Valor mínimo absoluto: -3 Se alcanza en x=2

20 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ejemplo Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de la función: 20

21 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Bibliografía Cálculo de una variable Cuarta edición James Stewart Secciones 4.1 y 4.2 Ejercicios 4.1 pág 284: 4, 6, 8, 12, 16, 23, 24, 26, 30, 51, 53, 60, 63, 73,


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