Aplicación de la Derivada

Presentación del tema: "Aplicación de la Derivada"— Transcripción de la presentación:

1 Aplicación de la Derivada
Extremos locales. Teorema del valor medio

2 Habilidades Define el concepto de extremos locales
Define el Teorema del valor extremo. Ilustra su significado geométricamente. Define e interpreta el Teorema de Fermat. Define el teorema de Rolle y generaliza al teorema del valor medio. Calcula puntos críticos analizando premisas.

3 Ejemplo Ubique los puntos de máximo y mínimo absoluto de f : E H G F C

4 Valores máximos y mínimos
Definición Sea D el dominio de f. Se dice que cD es un punto de máximo absoluto de f si para todo xD. El número f(c) se llama valor máximo absoluto de f en D. Se dice que cD es un punto de mínimo absoluto de f si para todo xD. El número f(c) se llama valor mínimo absoluto de f en D. Los valores máximo y mínimo se conocen genéricamente como valores extremos absolutos de f.

5 Ejemplo Ubique los puntos de máximo y mínimo local de f : y x a b c d
h k

6 Valores máximos y mínimos locales
Definición Se dice que c es un punto de máximo relativo o local de f si para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c. Se dice que c es un punto de mínimo relativo o local de f si para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c. Los valores máximo y mínimo locales se conocen genéricamente como valores extremos locales de f.

7 Ejemplo máximo absoluto puntos de mínimo local
y x a c1 b c2 c3 c4 d1 d2 d3 máximo absoluto puntos de mínimo local puntos de máximo absoluto

8 Ejemplo ¿Tiene f extremos locales?, ¿tiene extremos absolutos? y x

9 Teorema del valor extremo
Si f es continua en [a, b] entonces: f alcanza un máximo absoluto f (c) y un mínimo absoluto f (d) en algunos números c y d de [a, b]. ¿Se dan las condiciones para que se cumpla el teorema? y x a b y x a b y x a b

10 Teorema de Fermat Teorema
Si f tiene un extremo local en c y si f ’ (c) existe entonces: y x c1 c2 c3

11 Teorema del valor medio
1 Continua en [a, b] . Sea f: 2 Derivable en (a, b) . Existe c (a, b) tal que Entonces y x a b c2 c1

12 Teorema de Rolle Teorema Sea f : 1 Continua en [a, b] . 2
Derivable en (a, b) . 3 f (a)=f (b) . Entonces Existe c (a, b) tal que y x a b c1 c2

13 Ejemplos Muestre que 5 es un número critico de la función pero g no tiene un extremo local en 5. 2. Utilizando el resultado del teorema del valor medio, determine la recta tangente a f, paralela a la recta secante que une los extremos del intervalo. 13 13

14 Puntos críticos Definición
Un punto crítico de una función f es un número c en su dominio tal que: Teorema Si f tiene un extremo local en c entonces c es un punto crítico de f.

15 Ejemplo y x a c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 puntos críticos

16 Ejemplo y x a c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 puntos de extremo

17 Ejemplo Encuentre los puntos críticos de la función:

18 Extremos absolutos Método del intervalo cerrado
Para hallar los extremos absolutos de una función f continua en [a, b]: 1 Halle los valores de f en los puntos críticos de f en <a, b>. 2 Halle f(a) y f(b). 3 El mayor de los valores obtenidos en 1 y 2 es el máximo absoluto de f en [a, b]. El más pequeño es el mínimo absoluto.

19 Valor máximo absoluto: 17
Ejemplo Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de la función: Valor máximo absoluto: 17 Se alcanza en x=4 Valor mínimo absoluto: -3 Se alcanza en x=2

20 Ejemplo Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de la función:

21 Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart
Secciones 4.1 y 4.2 Ejercicios 4.1 pág 284: 4, 6, 8, 12, 16, 23, 24, 26, 30, 51, 53, 60, 63, 73, 80.