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CLASE 9 PARTE 1: IMAGEN CONTINUA DE UN COMPACTO Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y.

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1 CLASE 9 PARTE 1: IMAGEN CONTINUA DE UN COMPACTO Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Agosto Derechos reservados. Ejercicios para las clase 9 Práctico 3 del año Bibliografía de la Clase 9: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 1, sección 1.3, parágrafos 18, 20 y 21.

2 TEOREMA. La imagen por una función continua de un conjunto compacto, es un conjunto compacto. Dem. 1ª parte: demostrar que Por absurdo si f(K) no fuera acotado: sigue

3 Teníamos: 2ª parte: Demostrar que f(K) es cerrado. Por absurdo: Repetimos el mismo argumento recuadrado en verde.

4 CLASE 9 PARTE 2: TEOREMA DE WEIERSTRASS Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Agosto Derechos reservados. Ejercicios para las clase 9 Práctico 3 del año Bibliografía de la Clase 9: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 1, sección 1.3, parágrafos 18, 20 y 21.

5 DEFINICIÓN: El VALOR de la función f en el punto a se llama MAXIMO (absoluto) de f en D si Máximos y mínimos (absolutos) de funciones reales. OBSERVACIÓN: El máximo existe cuando el supremo se alcanza en algún(os) punto(s) de D. OBSERVACIÓN: El máximo (absoluto) si existe ES ÚNICO. Se puede alcanzar en uno o muchos puntos a del Conjunto D.

6 DEFINICIÓN: El VALOR de la función f en el punto b se llama MÍNIMO (absoluto) de f en D si Máximos y mínimos (absolutos) de funciones reales. OBSERVACIÓN: El mínimo existe cuando el ínfimo se alcanza en algún(os) punto(s) de D. OBSERVACIÓN: El mínimo (absoluto) si existe ES ÚNICO. Se puede alcanzar en uno o muchos puntos a del Conjunto D.

7 TEOREMA DE WEIERSTRASS. Toda función continua en un compacto K tiene Máximo y mínimo en K. Dem.

8 CLASE 9 PARTE 3: CONTINUIDAD UNIFORME Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Agosto Derechos reservados. Ejercicios para las clase 9 Práctico 3 del año Bibliografía de la Clase 9: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 1, sección 1.3, parágrafos 18, 20 y 21.

9 DEFINICIÓN: f es uniformemente continua en el conjunto D si TODA FUNCIÓN UNIFORMEMENTE CONTINUA EN D es continua en D, pero el recíproco es falso.

10 EJEMPLO. Probar que la siguiente función es uniforme- mente continua en todo el plano R2: Conclusión:

11 EJEMPLO. Probar que la siguiente función no es uniformemente continua en R2. NOTA: Por el teorema de Heine que veremos luego esa función es uniformemente continua en cualquier compacto contenido en R2. Dem. Por absurdo, si lo fuera: sigue

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13 CLASE 9 PARTE 4: PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD UNIFORME Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Agosto Derechos reservados. Ejercicios para las clase 9 Práctico 3 del año Bibliografía de la Clase 9: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 1, sección 1.3, parágrafos 18, 20 y 21.

14 1.Si f es uniformemente continua en D entonces es uniformemente continua en cualquier subconjunto de D. 3. Si f es uniformemente continua en D entonces para toda pareja de sucesiones 2. Si f es uniformemente continua en D y en E entonces es uniformemente continua en la unión de D con E. Es también cierto para una unión de tres, cuatro, o una cantidad finita de conjuntos. Pero es falso para una unión infinita.

15 EJEMPLO. Probar que

16 CLASE 9 PARTE 5: CONTINUIDAD UNIFORME EN COMPACTOS Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Agosto Derechos reservados. Ejercicios para las clase 9 Práctico 3 del año Bibliografía de la Clase 9: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 1, sección 1.3, parágrafos 18, 20 y 21.

17 TEOREMA de HEINE. f es uniformemente continua en K. Dem. sigue

18 Teníamos:


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