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LA CLASE VIRTUAL POLINOMIOS. 4 Dados el número natural n y los n+1 números reales o complejos a 0,a 1,…,a n (los llamados coeficientes) se define el polinomio.

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1 LA CLASE VIRTUAL POLINOMIOS

2 4 Dados el número natural n y los n+1 números reales o complejos a 0,a 1,…,a n (los llamados coeficientes) se define el polinomio p en la variable x como la función que hace corresponder al valor que tome x el valor p(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a n x n 4 Se dice que los polinomios p y q son idénticos si

3 POLINOMIOS 4 Se dice que el grado del polinomio p es n cuando a n es distinto de cero. El polinomio idénticamente nulo 0 carece de grado. Todos sus coeficientes valen cero y se verifica que 4 Dos polinomios p y q son idénticos cuando coinciden sus coeficientes, esto es, p-q=0. 4 A veces se habla del polinomio p(x), entendiendo que se refiere al polinomio p

4 POLINOMIOS 4 La suma de los polinomios p y q es el polinomio r de modo que 4 Sumar polinomios equivale sumar los coeficientes que afectan a la misma potencia de x.

5 POLINOMIOS 4 El producto de los polinomios p y q es el polinomio s de modo que 4 Nótese que el grado del polinomio suma r es a lo sumo el máximo de n y m.

6 POLINOMIOS 4 Análogamente el grado del polinomio producto s es a lo sumo m+n. 4 El cociente de dos polinomios no siempre es otro polinomio. Cuando el cociente f/g del polinomio f y el polinomio g es otro polinomio se dice que g divide a f o que f es múltiplo de g. 4 La división por el polinomio nulo no está permitida.

7 POLINOMIOS 4 En general la división de un polinomio f dividendo por un polinomio g divisor origina un polinomio cociente q y un polinomio resto r, de modo que –1ºf=qg+r, o lo que es lo mismo, –2ºEl grado de r es menor que el grado de g o bien r es nulo. 4 Nota: f/g es un polinomio si y sólo si r=0.

8 POLINOMIOS 4 Ejemplo:

9 POLINOMIOS 4 El máximo común divisor de f y g (abreviadamente m.c.d.) es el divisor común de mayor grado con a n =1. 4 El mínimo común múltiplo de f y g (abreviadamente m.c.m.) es el múltiplo común de menor grado con a n =1. 4 Se dice que f y g son primos entre sí si el máximo común divisor es el polinomio constante unidad.

10 POLINOMIOS 4 El algoritmo euclidiano permite obtener el mcd de f y g de un modo sencillo: 1ºf=qg+r 2ºg=q´r+r´ 3ºr=q´´r´+r´´ … hasta que el resto sea nulo. El último resto no nulo es el m.c.d. de f y g.

11 POLINOMIOS 4 Ejemplos: –El m.c.d. de x 4 -3x 2 +2 y x 4 +x 3 -x-1 es x 2 -1 –El m.c.m de x 2 -9 y x 2 -5x+6 es (x-3)(x+3)(x+2) –Los polinomios 8x 3 -10x 2 -x+3 y 2x 3 -5x 2 -x+6 son primos entre sí.

12 POLINOMIOS 4 El teorema fundamental del Álgebra afirma que todo polinomio p de grado n tiene al menos un cero, esto es, la ecuación p(x)=0 admite al menos una solución (real o compleja). Teorema: Es un cero de p si y sólo si p(x) es divisible por x-.

13 POLINOMIOS Se justifica el teorema ya que siendo p(x)=q(x)(x- )+r con r polinomio constante o nulo, si p(x) es divisible por x- debe ser r nulo, esto es, p(x)=q(x)(x- ) por lo que p( )=q( )( - ) =0 y es un cero de p; recíprocamente, si es un cero de p es p( )=0, luego 0=q( )( - )+r y de aquí r=0, esto es, p(x) es divisible por x-.

14 POLINOMIOS Si es un cero de p el polinomio p se puede factorizar de la forma p(x)=q(x)(x- ) donde (x- ) es un factor lineal y el grado de q una unidad inferior al grado de p. Se podría volver a factorizar q y así sucesivamente hasta llegar a la descomposición en factores lineales de p p(x)=a n (x- ) (x- ) (x- )... (x- n )

15 POLINOMIOS Los n ceros obtenidos (repetidos o no),, n son ceros del polinomio p de grado n. Cuando los coeficientes del polinomio p son reales y p posee un cero imaginario de la forma a=a+ib entonces también el conjugado a-ib es un cero de p. En este caso se pueden agrupar los dos factores lineales (x-(a+ib))(x-(a-ib)) en un factor cuadrático de la forma (x 2 +cx+d).

16 POLINOMIOS Si,, k son los ceros distintos del polinomio p de grado n, con multiplicidades respectivas m 1,m 2,m 3... m k se puede factorizar p de la forma: Se puede probar que si es un cero de p de multiplicidad m, mayor que la unidad, también es un cero de las derivadas sucesivas, hasta el orden de derivación m-1.

17 POLINOMIOS 4 La regla de Ruffini se puede utilizar para: –1º Hallar p( ), donde p es un polinomio y un valor numérico cualquiera –2º Hallar el cociente y el resto de la división del polinomio p(x) y el polinomio x- –3º Transformar un polinomio p(x) en un polinomio q(y), mediante la sustitución y=x-. En este caso hay que apoyarse en el desarrollo de Taylor.

18 POLINOMIOS Ejemplo: División de p(x)=5x 4 +10x 3 +x-1 por x+2. Aquí se tiene =-2. El cociente de la división de p(x) por (x+2) es 5x 3 +1 y el resto -3, precisamente el valor de p(-2). Se tiene p(x)= (5x 3 +1 )(x+2)-3

19 POLINOMIOS 4 Ejemplo: El desarrollo de Taylor del polinomio p(x)=5x 4 +10x 3 +x-1 en x=-2 es 4 Los valores de p y de sus derivadas son calculables por Ruffini en x=-2, llegando a p(x)=5(x+2) 4 -30(x+2) 3 +60(x+2) 2 -39(x+2)-3


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