Teorema de los valores intermedios para funciones

Presentación del tema: "Teorema de los valores intermedios para funciones"— Transcripción de la presentación:

1 Teorema de los valores intermedios para funciones
Repaso de las propiedades de las funciones continuas. Una función que es continua sólo en los irracionales. Teorema de Bolzano. Teorema de los valores intermedios (Darboux) para funciones continuas. Aplicaciones del teorema de los valores intermedios. Teorema de los valores intermedios.

2 Funciones Continuas (1)
Definición 1 La función que no es continua (en un punto o en un intervalo) se dice que es discontinua. Función continua Función discontinua Teorema de los valores intermedios.

3 Funciones Continuas (2)
Definición 2 Lema Demostración Teorema de los valores intermedios.

4 Funciones Continuas (3)
Las siguientes funciones son continuas en los puntos donde están definidas. Polinomios – son funciones continuas siempre Funciones racionales Funciones definidas por expresiones algebraicas Funciones exponenciales y sus inversas Funciones trigonométricas y sus inversas. Teorema de los valores intermedios.

5 Funciones Continuas (4)
Supongamos que f y g son funciones continuas. Teorema Las siguientes funciones son continuas: f + g f g f / g supuesto que g  0, es decir es una función continua en todos los puntos x para los que g(x)  0. Teorema de los valores intermedios.

6 Funciones Continuas(5)
Lema Corolario Teorema de los valores intermedios.

7 Funciones Continuas (6)
Ejemplo Una función que es continua en los irracionales y discontinua en los racionales. Definición Teorema de los valores intermedios.

8 Funciones Continuas (7)
Definición La continuidad en los puntos irracionales es consecuencia de que al aproximar un número irracional por números racionales de la forma m/n, el denominador n es arbitrariamente grande y por tanto la aproximación es mejor. Teorema de los valores intermedios.

9 Teorema de los valores intermedios.
Teorema de Bolzano(1) Teorema de Bolzano Demostración a b Teorema de los valores intermedios.

10 Teorema de los valores intermedios.
Teorema de Bolzano(2) Teorema de Bolzano Demostración (continuación) Teorema de los valores intermedios.

11 Teorema de los Valores Intermedios para Funciones Continuas
Demostración Si c > f(a), aplicamos el teorema de Bolzano a la función f(x) - c. En caso contrario se aplica el teorema a la función c – f(x). El teorema de los valores intermedios puede interpretarse diciendo que una función continua en un intervalo, toma cualquier valor entre dos valores que toma la función en ese intervalo. Así una función continua no puede tomar valores positivos y negativos y no tomar el valor 0. Teorema de los valores intermedios.

12 Usando el Teorema de los Valores Intermedios (1)
Problema Solución Teorema de los valores intermedios.

13 Usando el Teorema de los Valores Intermedios(2)
Problema Solución (continuación) Repetid el proceso anterior para encontrar un intervalo de longitud < que contenga la solución. El punto medio de dicho intervalo es la solución requerida. Teorema de los valores intermedios.

14 Usando el Teorema de los Valores Intermedios (3)
Problema Solución gráfica 1 0.5 1ª iteración, ξ0.5 2ª iteración, ξ0.25 17ª iteración, ξ Teorema de los valores intermedios.

15 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä