Figuras planas Una teselación es un mosaico sin huecos que recubre el plano. El triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular teselan.

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1 Figuras planas Una teselación es un mosaico sin huecos que recubre el plano. El triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular teselan el plano usando cada vez uno de ellos. Existen, además, ocho teselaciones que utilizan al menos dos polígonos regulares distintos (seis de ellas se muestran más abajo). Se usan con profusión en todas las culturas como motivos ornamentales.

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3 Esquema de contenidos Figuras planas Lugares geométricos Concepto
Rectas y puntos notables Rectas notables Puntos notables Teorema de Pitágoras Fórmula Ternas pitagóricas Aplicaciones Áreas de polígonos Áreas triángulos y cuadriláteros Áreas polígonos regulares Fórmula de Pick Áreas de figuras circulares Área del círculo Sector, segmento y corona

4 Posiciones de los centros de un triángulo
Utilizando los procedimientos del dibujo clásico, has visto la comprobación gráfica de las propiedades de las rectas notables de un triángulo. En cada caso, se utilizó una figura diferente. Utilizando los programas geométricos actuales, podemos superponer estas gráficas para un mismo triángulo, sin que por ello, nos perdamos en el dibujo.

5 Posiciones de los centros de un triángulo
Utilizando los procedimientos del dibujo clásico, has visto la comprobación gráfica de las propiedades de las rectas notables de un triángulo. En cada caso, se utilizó una figura diferente. Señala sobre el triángulo los cuatro puntos notables, baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro y destaca alguna propiedad que encuentres.

6 Posiciones de los centros de un triángulo
Utilizando los procedimientos del dibujo clásico, has visto la comprobación gráfica de las propiedades de las rectas notables de un triángulo. En cada caso, se utilizó una figura diferente. Señala sobre el triángulo los cuatro puntos notables, baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro y destaca alguna propiedad que encuentres. Bastará con dibujar dos medianas para hallar el baricentro G.

7 Posiciones de los centros de un triángulo
Utilizando los procedimientos del dibujo clásico, has visto la comprobación gráfica de las propiedades de las rectas notables de un triángulo. En cada caso, se utilizó una figura diferente. Señala sobre el triángulo los cuatro puntos notables, baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro y destaca alguna propiedad que encuentres. Bastará con dibujar dos medianas para hallar el baricentro G.

8 Posiciones de los centros de un triángulo
Utilizando los procedimientos del dibujo clásico, has visto la comprobación gráfica de las propiedades de las rectas notables de un triángulo. En cada caso, se utilizó una figura diferente. Señala sobre el triángulo los cuatro puntos notables, baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro y destaca alguna propiedad que encuentres. Nos quedamos con el baricentro y determinamos ahora, con dos alturas, el ortocentro, O.

9 Posiciones de los centros de un triángulo
Utilizando los procedimientos del dibujo clásico, has visto la comprobación gráfica de las propiedades de las rectas notables de un triángulo. En cada caso, se utilizó una figura diferente. Señala sobre el triángulo los cuatro puntos notables, baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro y destaca alguna propiedad que encuentres. Nos quedamos con el baricentro y determinamos ahora, con dos alturas, el ortocentro, O.

10 Posiciones de los centros de un triángulo
Utilizando los procedimientos del dibujo clásico, has visto la comprobación gráfica de las propiedades de las rectas notables de un triángulo. En cada caso, se utilizó una figura diferente. Señala sobre el triángulo los cuatro puntos notables, baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro y destaca alguna propiedad que encuentres. Hallamos ahora el circuncentro M, mediante las mediatrices de dos lados.

11 Posiciones de los centros de un triángulo
Utilizando los procedimientos del dibujo clásico, has visto la comprobación gráfica de las propiedades de las rectas notables de un triángulo. En cada caso, se utilizó una figura diferente. Señala sobre el triángulo los cuatro puntos notables, baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro y destaca alguna propiedad que encuentres. Hallamos ahora el circuncentro M, mediante las mediatrices de dos lados.

12 Posiciones de los centros de un triángulo
Utilizando los procedimientos del dibujo clásico, has visto la comprobación gráfica de las propiedades de las rectas notables de un triángulo. En cada caso, se utilizó una figura diferente. Señala sobre el triángulo los cuatro puntos notables, baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro y destaca alguna propiedad que encuentres. A la vista de la figura, parece que estos tres puntos, G, O y M, estén alineados. En efecto, esto es así en cualquier triángulo. La recta que pasa por los tres se llama recta de Euler del triángulo.

13 Posiciones de los centros de un triángulo
Utilizando los procedimientos del dibujo clásico, has visto la comprobación gráfica de las propiedades de las rectas notables de un triángulo. En cada caso, se utilizó una figura diferente. Señala sobre el triángulo los cuatro puntos notables, baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro y destaca alguna propiedad que encuentres. No solamente están alineados sino que la distancia entre ellos sigue una relación muy sencilla: OG es siempre el doble que GM. ¿Y el incentro? ¿Está también alineado?

14 Posiciones de los centros de un triángulo
Utilizando los procedimientos del dibujo clásico, has visto la comprobación gráfica de las propiedades de las rectas notables de un triángulo. En cada caso, se utilizó una figura diferente. Señala sobre el triángulo los cuatro puntos notables, baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro y destaca alguna propiedad que encuentres. No solamente están alineados sino que la distancia entre ellos sigue una relación muy sencilla: OG es siempre el doble que GM. ¿Y el incentro? ¿Está también alineado? La respuesta es negativa, como se ve en la figura.

15 Posiciones de los centros de un triángulo
Utilizando los procedimientos del dibujo clásico, has visto la comprobación gráfica de las propiedades de las rectas notables de un triángulo. En cada caso, se utilizó una figura diferente. Señala sobre el triángulo los cuatro puntos notables, baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro y destaca alguna propiedad que encuentres. Para ver como estas propiedades se cumplen en todo tipo de triángulos, haz clic en el enlace. Observa como el cociente de OG entre GM vale siempre 2. La recta de Euler

16 Ternas pitagóricas Una terna pitagórica es un triplete de números naturales que pueden ser medidas de lados de un triángulo rectángulo. La primera lista de ternas pitagóricas son de hace unos años en Mesopotamia y, curiosamente, están escritas años antes del nacimiento de Pitágoras. Da valores a x y a y en el cuadro siguiente, poniendo siempre x > y y usando solamente números naturales. Las tres últimas columnas darán las longitudes de catetos e hipotenusa de triángulos rectángulos. Rellena los recuadros en blanco, para obtener 12 ternas pitagóricas. CATETOS HIPOT. x y 2 x y x2 – y2 x2 + y2 2 1 3 4 CATETOS HIPOT. x y 2 x y x2 – y2 x2 + y2 5 1 2 3 4 6

17 Ternas pitagóricas Da valores a x y a y en el cuadro siguiente, poniendo siempre x > y y usando solamente números naturales. Las tres últimas columnas darán las longitudes de catetos e hipotenusa de triángulos rectángulos. De los doce casos, hay varios casos en los que los tres lados son múltiplos de los de otro triángulo más pequeño, que podemos llamar primitivos. Señala cuáles son estos triángulos primitivos. CATETOS HIPOT. x y 2 x y x2 – y2 x2 + y2 2 1 4 3 5 6 8 10 12 13 15 17 16 20 24 7 25 CATETOS HIPOT. x y 2 x y x2 – y2 x2 + y2 5 1 10 24 26 2 20 21 29 3 30 16 34 4 40 9 41 6 12 35 37 32

18 Ternas pitagóricas Da valores a x y a y en el cuadro siguiente, poniendo siempre x > y y usando solamente números naturales. Las tres últimas columnas darán las longitudes de catetos e hipotenusa de triángulos rectángulos. En rojo, aparecen los casos primitivos. CATETOS HIPOT. x y 2 x y x2 – y2 x2 + y2 2 1 4 3 5 6 8 10 12 13 15 17 16 20 24 7 25 CATETOS HIPOT. x y 2 x y x2 – y2 x2 + y2 5 1 10 24 26 2 20 21 29 3 30 16 34 4 40 9 41 6 12 35 37 32

19 Ternas pitagóricas Da valores a x y a y en el cuadro siguiente, poniendo siempre x > y y usando solamente números naturales. Las tres últimas columnas darán las longitudes de catetos e hipotenusa de triángulos rectángulos. CATETOS HIPOT. x y 2 x y x2 – y2 x2 + y2 2 1 4 3 5 6 8 10 12 13 15 17 16 20 24 7 25 CATETOS HIPOT. x y 2 x y x2 – y2 x2 + y2 5 1 10 24 26 2 20 21 29 3 30 16 34 4 40 9 41 6 12 35 37 32 Dibuja en tu cuaderno de hoja cuadriculada, los triángulos de la tabla y comprueba con una regla la longitud de la hipotenusa en cada caso.

20 Área de figuras en un retículo: Fórmula de Pick
Usamos fórmulas para hallar el área de polígonos. Para que la fórmula no sea complicada el polígono ha de tener pocos lados y tener cierta regularidad. Sin embargo, por irregular que sea el polígono, si sus vértices son puntos de un retículo cuadrado, su área puede calcularse con una sencilla fórmula obtenida por Georg Pick ( ), matemático austríaco judío que murió en el campo de concentración de Theressienstadt. La fórmula de Pick da el área A de un polígono que tenga en su interior i puntos y f puntos en su frontera o borde: A = i + f/2 – 1 ¿Cuál es el área del pentágono de la figura?

21 Área de figuras en un retículo: Fórmula de Pick
La fórmula de Pick da el área A de un polígono que tenga en su interior i puntos y f puntos en su frontera o borde: A = i + f/2 – 1 ¿Cuál es el área del pentágono de la figura? Como hay 5 puntos interiores (marcados con ), i = 5.

22 Área de figuras en un retículo: Fórmula de Pick
La fórmula de Pick da el área A de un polígono que tenga en su interior i puntos y f puntos en su frontera o borde: A = i + f/2 – 1 ¿Cuál es el área del pentágono de la figura? Como hay 5 puntos interiores (marcados con ), i = 5. Hay 7 puntos en la frontera (señalados con ). Luego f = 7. Por tanto, A = 5 + 7/2 – 1 = 5 + 3,5 – 1 = 7,5 unidades de área (la unidad de área es el cuadrado mínimo del retículo).

23 Área de figuras en un retículo: Fórmula de Pick
La fórmula de Pick da el área A de un polígono que tenga en su interior i puntos y f puntos en su frontera o borde: A = i + f/2 – 1 Halla las áreas de todos los polígonos sobre el retículo con la fórmula de Pick.

24 Área de figuras en un retículo: Fórmula de Pick
La fórmula de Pick da el área A de un polígono que tenga en su interior i puntos y f puntos en su frontera o borde: A = i + f/2 – 1 Halla las áreas de todos los polígonos sobre el retículo con la fórmula de Pick. Polígono i f Área 1 3 5 4,5 2 7 8,5 16 4 17 8 10,5 11 6,5 6 12 18 20

25 La piedra de afilar Los problemas que son conocidos desde hace siglos suelen estar basados en situaciones cotidianas que presentan soluciones paradójicas. Dos sirios compraron a medias una piedra de afilar redonda de 30 cm de radio. Sortearon quién la usaba primero. Cuando la piedra llegara a la mitad de su tamaño, conservando siempre su forma circular, el primer usuario debía pasársela al otro. ¿Qué radio ha de tener la piedra cuando eso suceda?

26 La piedra de afilar Los problemas que son conocidos desde hace siglos suelen estar basados en situaciones cotidianas que presentan soluciones paradójicas. Dos sirios compraron a medias una piedra de afilar redonda de 30 cm de radio. Sortearon quién la usaba primero. Cuando la piedra llegara a la mitad de su tamaño, conservando siempre su forma circular, el primer usuario debía pasársela al otro. ¿Qué radio ha de tener la piedra cuando eso suceda? El primer usuario gastará una corona circular, mientras que el segundo gastará el círculo menor cuya área sea la misma que la de la corona. ¿Qué relación hay entre las áreas de este círculo y la del círculo inicial?

27 La piedra de afilar Los problemas que son conocidos desde hace siglos suelen estar basados en situaciones cotidianas que presentan soluciones paradójicas. Dos sirios compraron a medias una piedra de afilar redonda de 30 cm de radio. Sortearon quién la usaba primero. Cuando la piedra llegara a la mitad de su tamaño, conservando siempre su forma circular, el primer usuario debía pasársela al otro. ¿Qué radio ha de tener la piedra cuando eso suceda? El primer usuario gastará una corona circular, mientras que el segundo gastará el círculo menor cuya área sea la misma que la de la corona. El área del círculo menor es la mitad de la del círculo mayor. Expresa ambas áreas en función de sus radios r y 30 cm.

28 La piedra de afilar π · r 2 = π · R 2
Los problemas que son conocidos desde hace siglos suelen estar basados en situaciones cotidianas que presentan soluciones paradójicas. Dos sirios compraron a medias una piedra de afilar redonda de 30 cm de radio. Sortearon quién la usaba primero. Cuando la piedra llegara a la mitad de su tamaño, conservando siempre su forma circular, el primer usuario debía pasársela al otro. ¿Qué radio ha de tener la piedra cuando eso suceda? El área del círculo menor es la mitad de la del círculo mayor. Expresa ambas áreas en función de sus radios r y 30 cm. Área círculo menor = π · r 2 π · r 2 = π · R 2 Área círculo mayor = π · R 2

29 La piedra de afilar π · r 2 = π · R 2
Los problemas que son conocidos desde hace siglos suelen estar basados en situaciones cotidianas que presentan soluciones paradójicas. Dos sirios compraron a medias una piedra de afilar redonda de 30 cm de radio. Sortearon quién la usaba primero. Cuando la piedra llegara a la mitad de su tamaño, conservando siempre su forma circular, el primer usuario debía pasársela al otro. ¿Qué radio ha de tener la piedra cuando eso suceda? El área del círculo menor es la mitad de la del círculo mayor. Expresa ambas áreas en función de sus radios r y 30 cm. Área círculo menor = π · r 2 π · r 2 = π · R 2 Área círculo mayor = π · R 2 Simplificando, r2 = R2 / 2. De aquí: r = La piedra ha de cambiarse cuando el radio sea: r = 30 /1, = ¡ 21,2 cm !

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31 Actividad: Las teselaciones poligonales
Dirección: En esta página de Nueva Zelanda se encuentra la descripción detallada de una actividad sobre las teselaciones del plano mediante polígonos regulares. Para utilizarla, sigue este enlace.