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PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS SEGMENTO DE PUNTOS A y B = [A,B] AB LONGITUD DEL SEGMENTO [A,B] También se utiliza la siguiente.

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1 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

2 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS SEGMENTO DE PUNTOS A y B = [A,B] AB LONGITUD DEL SEGMENTO [A,B] También se utiliza la siguiente notación: d(A,B) = AB ó d(A,B) = a PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS [A;B] y [C,D] son PROPORCIONALES a [E,F] Y [G,H], si se cumple d(A,B) Ejemplo:

3 Actividad 1 La razón entre dos segmentos es 3/5. Si el segmento mayor mide 10 cm., ¿Cuánto mide el segmento menor?

4 TEOREMA DE TALES Si r y r son dos rectas secantes en el punto O 0 Si trazamos dos nuevas rectas paralelas que cortan a r y r en los puntos A, B y A, B respèctivamente B A B A [0,B] Entonces, los segmentos [O,A] y [O,B] son PROPORCIONALES a los segmentos [O,A] y [O,B] [0,A] [0,B]

5 Actividad 2 Halla la longitud x, e y de los segmentos desconocidos de la figura siguiente: 1 cm 2 cm 4 cm y cm 3 cm x cm

6 APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES Dada una triángulo ABC AB C Si trazamos una recta paralela a un lado (por ejemplo al lado BC) M N Es decir: AB/AM = AC/AN = BC/MN. Entonces el nuevo triángulo AMN, tiene los lados proporcionales al triángulo ABC.

7 Actividad 3 Calcula las longitudes x, e y desconocidas de la figura siguiente: 1 cm 3,5 cm y cm 3 cm x cm

8 CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS Trazamos un segmento de longitud a + b + c, con origen en O. Para dividir un segmento [O,A] en partes proporcionales a, b y c: 0A b a c Trazamos paralelas (utilizando T. Tales), y obtenemos dicha división a` b` c`

9 Actividad 4 Dibuja en tu cuaderno un segmento de 11 cm. y divídelo en dos partes tales que una sea ¾ de la otra.

10 Cuarto, tercero y medio proporcional Dado 3 segmentos de longitudes a, b y c, decimos que el segmento de longitud desconocida x es el CUARTO PROPORCIONAL de a, b y c, si se cumple: b a x c Si b = c, decimos que el segmento de longitud desconocida x es el TERCERO PROPORCIONAL de a, b si se cumple: El segmento de longitud b es el MEDIO PROPORCIONAL b a x b

11 FIGURAS PLANAS SEMEJANTES Dos figuras planas son SEMEJANTES si están relacionadas de manera que una es una reducción o ampliación de la otra. POLÍGONOS SEMEJANTES Dos POLÍGONOS de n lados son SEMEJANTES si tiene los mismos ángulos y los lados son proporcionales. Razón de semejanza =

12 Construcción de polígonos semejantes Dado un polígono O Se traza un punto O cualquiera y se trazan semirrectas que parten de O, y pasan por los vértices Se toma la razón r, y se trazan paralelas a los lados

13 Actividad 5 Dibuja en tu cuaderno un triángulo que tenga un lado de 2,5 cm. y otro de 3,5 cm. Y un ángulo de 80º comprendido entre ellos. ¿Sabrías trazar ahora otro triángulo semejante dos de cuyos lados midiesen 7,5 cm. y 10,5 cm. respectivamente? ¿Cuál es la razón de semejanzas entre ambas figuras?

14 1º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos ABC y ABC son semejantes si: A B C A B C B = B C = C

15 2º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos ABC y ABC son semejantes si: A B C A B C A = A bc b c b/b = c/c

16 3º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos ABC y ABC son semejantes si: A B C A B C bc b c a/a = b/b = c/c aa

17 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos ABC, ABC rectángulos en A y A son semejantes si: AB C A B C 1.- Tiene un mismo ángulo agudo B = B ó C = C 2.- Dos pares de lados homólogos son proporcionales

18 TEOREMA DEL CATETO Y DE LA ALTURA Dado un triángulo rectángulo ABC : A B C a b c Por semejanzas de triángulos ABC y CPA, y también ABC y PBA, Trazamos la perpendicular al segmento [ B,C] que pasa por A. Denominamos P al punto de intersección, m = CP, n = PB y h = AP m n P h De donde se deducen los siguientes teoremas: Teorema del CATETOTeorema del CATETO.- Cada cateto de un triángulo rectángulo es la media proporcional de la hipotenusa y su proyección sobre esta: Teorema de la ALTURATeorema de la ALTURA.- La altura de un triángulo rectángulo es la media proporcional de los dos segmentos que dividen la hipotenusa:

19 Actividad 6 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm. Y 8 cm., respectivamente: a)¿Cuánto miden sus proyecciones sobre la hipotenusa? b) ¿Cuánto vale la altura del triángulo sobre la hipotenusa?

20 RELACIÓN ENTRE FIGURAS SEMEJANTES Si P y P son polígonos SEMEJANTES de lados a 1, a 2,….,a n y de lados homologos a 1, a 2,…, a n. Si F y F son figuras planas semejantes: r 2 = ÁREA de F / ÁREA de F. Si C C son cuerpos semejantes : r 3 = VOLUMEN de C / VOLUMEN de c. La razón de semejanza es: PERIMETRO de P r = a 1 /a 1 = a 2 /a 2 = …. = a n / a n = PERIMETRO de P. Ejemplo: P a b d c e P b a c e d a+b+c+d+e r = a+b+c+d+e (1/2).(a+b+c+d+e) = a+b+c+d+e = 1/2

21 Actividad 7 La razón entre los radios de dos esferas es 5/7. Halla el volumen de la esfera grande, sabiendo que el de la pequeña es 250 cm. 3.

22 ESCALAS DE MAPAS Y PLANOS Se llama ESCALA a la razón de semejanza que existe entre la representación gráfica de un objeto cualquiera y la dimensión real del mismo. Usamos ESCALAS de AMPLIACIÓN para representar objetos pequeños. Usamos ESCALAS de REDUCCIÓN para representar objetos grandes.

23 Actividad 8 Dos ciudades distan entre sí 25 km. ¿A qué distancia se hallarán en un plano de escala 1:25.000? ¿Y en otro en el que se indica que 5 cm. Equivalen a 100 km.?

24 Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia ( ) En la siguiente diapósitiva

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29 Mas ayuda del tema de la página Matemática de GAUSS del Ministerio de Educación y ciencia ( ) En la siguiente diapósitiva

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