La descarga está en progreso. Por favor, espere

La descarga está en progreso. Por favor, espere

CAPITULO 7 Estudio de Circuitos en Régimen Transitorio Teoría de Circuitos I.

Presentaciones similares


Presentación del tema: "CAPITULO 7 Estudio de Circuitos en Régimen Transitorio Teoría de Circuitos I."— Transcripción de la presentación:

1 CAPITULO 7 Estudio de Circuitos en Régimen Transitorio Teoría de Circuitos I

2 Estudiaremos el comportamiento dinámico de los circuitos cuando se producen perturbaciones, originadas por apertura o cierre de llaves, o por variaciones súbitas en la alimentación. Circuito Dinámico: Incluye Capacitores, Inductores, o ambos. La energía no se disipa en forma de calor, sino que queda almacenada en el campo eléctrico (en C) o magnético (en L). El comportamiento de las formas de onda de tensión y corriente quedará definido por ecuaciones diferenciales cuyo orden depende del número de almacenadores que tenga el circuito.

3 Propiedades básicas de los capacitores e inductancias invariantes en el tiempo Memoria: Condiciones iniciales

4 Memoria: Las condiciones inciales son equivalentes, desde el punto de vista externo, a los siguientes cicuitos: Es importante tener en cuenta la polaridad/sentido de circulación de la condición inicial para el modelo !!!

5 Continuidad: Propiedades básicas de los capacitores e inductancias invariantes en el tiempo Si la forma de onda de corriente i c (t) en un capacitor lineal ( ten- sión v L (t) en un inductor ) permanece acotada en un intervalo ce- rrado [t a, t b ], entonces la tensión v c (t) en el capacitor ( corriente i L (t) en un inductor ) es una función continua en el intervalo abierto (t a, t b ).

6 Continuidad: Una forma de demostrar matemáticamente esta propiedades a partir de las relaciones VA de los respectivos elementos CAPACITORINDUCTOR Para que exista la derivada la tensión v C (t) en el capacitor y la corriente i L (t) en un inductor deben variar en forma continua. Luego,

7 Energía almacenada en un capcitor o Inductor invariante en el tiempo: Sea un capacitor lineal C con una tensión inicial v C (t 1 ) = V y una carga q(t 1 ) = C V En t 1 se cierra el interruptor Análogamente, para un inductor lineal L con una corriente inicial i(t 1 ) = I o un flujo inicial (t 1 ) = L I.

8 Por LKT sabemos que: Planteo de ecuaciones en regímenes transitorios v S (t) : Excitación o función forzante (puede ser cte o vble en el tiempo) Las ecuaciones diferenciales por sí mismas, no permiten obtener la so- lución real del problema, sino que deben complementarse con las con- diciones iniciales, o condiciones de conmutación vistas anteriormente. EDO lineal de primer orden Problema de condiciones iniciales - Sistema de ecuaciones diferenciales - Condiciones Iniciales

9 Como ya sabemos la solución para una variable cualquiera x(t) para una ecuación diferencial lineal tendrá la forma: Régimen transitorio, libre y forzado Para los circuitos se puede demostrar que la ecuación homogénea aso- ciada sólo puede tener raices reales negativas o complejas con parte real negativa y las soluciones serán del tipo: Solución Homogénea Solución Particular Solución Homogénea o de Régimen Libre Solución Homogénea o de Régimen Libre Solución Particular o de Régimen Forzado Respuesta en Régimen Transitorio = +

10 Circuitos constituidos por resistencias e inductancias o resistencias y capacitores. Gráficamente, Régimen transitorio en circuitos de primer orden Aplicando T. de Thevenin o de Norton podemos reemplazar N, tal que: Aplicando LKT en la mallaAplicando LKC en un nudo Ecuación de Estado

11 Cuando la red N contiene solo fuentes de continua, v th (t) = V th y i N (t) = i N son constantes podemos escribir Circuitos alimentados con fuentes de valor cte. Método de inspección Pero como ya sabemos esta ecuación tendrá una solución de la forma: Para el caso del capacitor, x(t)= V c (t):

12 La evolución de la variable de estado ( v C (t) o i L (t) ) queda unívocamente determinada por tres parámetros: estado inicial x(0), estado final o de equilibrio x( ), y constante de tiempo Circuitos alimentados con fuentes de valor cte. Método de inspección El método puede usarse para hallar la tensión entre cualquier par de nudos j y k, o la corriente en cualquier rama j, en una red lineal de primer orden alimentada por fuentes de continua. Observación: Solo puede utilizarse en circuitos donde el equivalente de Thevenin o Norton exista y posea R th 0 o G N 0 respectivamente.

13 Propiedades de las ondas exponenciales La evolución de la variable de estado ( v C (t) o i L (t) ) queda tendrá un comportamiento estable o no dependiendo de la constante de tiempo Diremos que es estable si la solución homogénea tiende asintóticamen- te a cero cuando t tiende a infinito. Caso contrario, podrá ser inesta- ble o marginalmente estable. Caso estable > 0

14 Propiedades de las ondas exponenciales ec. homogenea asoc ? Caso marginalmente estable Caso inestable < 0 Derivando i(t) C1C1 C2C2

15 Cálculo del tiempo transcurrido entre dos instantes dados A partir de la ecuación deducida para el metodo de inspección sabemos que cualquier punto de la evolución verifica que: x(t 0 + ) ? Con lo cuál podemos calcular el intervalo transcurrido entre 2 instantes planteando esta ecuación para 2 instantes, diviendo miembro a miembro y tomando el logaritmo. Así, se obtiene que:

16 Con C.I. nulas, por el método de inspección: Si a su vez i(0) = 0, tenemos: Representación gráfica de la respuesta Luego, por la ley de Ohm:

17 Representación gráfica de la respuesta : constante de tiempo ( tiempo que tarda la i libre, en reducirse a un valor igual a 1/e )

18 Determinación gráfica de t Aplicando inspección y suponiendo que transcurrió un tiempo largo antes de cerrar S, tenemos: i final = 0 Luego, la evolución temporal en la malla que se cortocircuito será:

19 v X (t) 4 0,8 H i(t) 16 V + 3.v X (t) – 6 3 Pag 16 Ej 1) Determinar la corriente i(t) y la tensión v x (t) para t 0, siendo i(0 - ) = 1 A

20 Pag 17 Ej 5) En el siguiente circuito, la llave se abre en t = 0, exci- tando la red con un escalón de corriente I DC. Obtener y graficar v 0 (t).

21 Régimen transitorio en circuitos de 2do orden - Respuesta libre: Hallar v(t) debido a la liberación de energía almacenada en L, en C o en ambas Hallar i(t) debido a la liberación de energía almacenada en L, en C o en ambas - Respuesta forzada:

22 Régimen transitorio en circuitos de 2do orden Por LKT en la malla tenemos: Como tenemos ahora una EDO de orden 2 necesitaremos 2 condicio- nes iniciales, que podrán ser independientes o depenmdientes

23 Régimen transitorio en circuitos de 2do orden - Calculo de respuesta libre El polinomio asociado resulta: Ojo, vale solo para serie RLC

24 Circuitos de 2do orden RLC paralelo Por LKC en el nudo: 0 2

25 Régimen transitorio en circuitos de 2do orden 1. Si > 0 > 0 ambas raíces son reales, negativas y distintas y la respuesta se denomina sobreamortiguada, estando representada por la suma de dos exponenciales decrecientes, con constantes de tiempo 1 y 2

26 Régimen transitorio en circuitos de 2do orden 2. Si = 0 ambas raíces serán reales e iguales, y se dice que la respuesta posee amortiguamiento crítico

27 Régimen transitorio en circuitos de 2do orden 3. Si 0 < < 0 ambas raíces son complejas conjugadas una de otra, y la respuesta se denomina subamortiguada, estando representada por una senoide que decae exponencialmente.

28 Régimen transitorio en circuitos de 2do orden 4. Si = 0 y o > 0 la respuesta será sin pérdidas, es decir, una senoide pura con una frecuencia angular de oscilación igual a o

29 Análisis solución completa RLC serie Al igual que para primer orden la solución completa puede pensarse como la superposición de la respuesta libre y la forzada: Régimen sobreamortiguado > o > 0 ambas raíces son reales y distintas 1 2 a) Análisis respuesta libre

30 Análisis solución completa RLC serie Régimen sobreamortiguado b) Análisis respuesta forzada (c.i. nulas) v R (t) v L (t) E v C (t) ?

31 Pag 24 Ej 2) Luego de haber estado en la posición 1 un tiempo sufi- cientemente largo, la llave L conmuta en t=0 a la posición 2. Hallar y graficar la evolución v C (t) para t 0.

32 Análisis solución completa RLC serie Amortiguamiento crítico = o ambas raíces reales e iguales 1 = 2 = a) Análisis respuesta libre b) Análisis respuesta forzada (c.i. nulas) v R (t) v L (t) E

33 Determinar la tensión de salida v c (t) para t>0 seg. Suponer que el circuito ha alcanzado el régimen permanente en t = 0 -.

34 Forma general de las constantes de integración para regimen libre Regimen Sub o Sobreamortiguado Reemplazando (1) en (2), tenemos: Para la tensión en el capacitor: Reemplazando (1) en (2), tenemos:

35 Análisis solución completa RLC serie Regimen subamortiguado 0 < < o raíces complejas conjugadas 12 = - j d a) Análisis respuesta libre Como ya sabiamos: Trabajando matemáticamente y utilizando la igualdad de Euler:

36 b) Análisis respuesta forzada (c.i. nulas) Análisis solución completa RLC serie i(t) C = 0,1 F L = 0,1 H E = 10 V R = 0,1 R = 1 R = 2 R = 5 R = 10

37 Pag 32 Ej 2) La llave en el siguiente circuito se abre en t = 0 seg, luego de haber permanecido cerrada un tiempo suficientemente largo. Calcular i L (t) para t 0.

38 En t = 0 seg las llaves S y S´ están en la posición 1. En t = 1 mseg conmutan a la posición 2. Calcular la evolución temporal de v R (t)

39 Pag 32 Ej 4) En t = 0 los almacenadores están descargados y la llave en la posición 1. El sistema evoluciona hasta t = 0,5 s y la llave conmuta a la posición 2. Calcular y graficar cualitativamente i L (t) para t 0.


Descargar ppt "CAPITULO 7 Estudio de Circuitos en Régimen Transitorio Teoría de Circuitos I."

Presentaciones similares


Anuncios Google