DEFINICIÓN DE DERIVADA

Presentation on theme: "DEFINICIÓN DE DERIVADA"— Presentation transcript:

1 DEFINICIÓN DE DERIVADA
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA MIGUEL ANGEL DIAZ

2 Hasta el momento, de una función f(x), podemos conocer:
Dominio Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y Continuidad Asíntotas y ramas parabólicas Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer: Intervalos de crecimiento / decrecimiento Máximos y mínimos relativos Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS

3 LA IMPORTANCIA DE LAS TANGENTES
La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:

4 En los puntos de máximo o mínimo, la recta tangente es horizontal ( es decir, la pendiente es 0)
En los tramos de crecimiento la recta tangente tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento la tiene negativa. m=0

5 Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a” f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene pendiente -3/2. y=3 y=1,2x+1,5 f’(-2)= 0 f’(4)=0 f’(2)=1,2 f’(6)=-1,3 y=-1,3x+13 y=-3/2x-24 y=-4

6 ¿CÓMO CALCULAR LA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO?
Para calcular la pendiente m es muy fácil: (3,2) (1,-1) De esta manera f’(3)=3/2

7 IMPORTANTE O LO QUE ES LO MISMO:

8 Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer? Recta t ¿f'(a)=m? A(a,f(a))

9 Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o izquierda una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h sobre el eje X y su correspondiente punto de la gráfica P((a+h), f(a+h)) P(a+h,f(a+h)) A(a,f(a)) Recta t a a+h

10 Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las coordenadas de los dos puntos A y P.
A(a,f(a)) Recta t a a+h P(a+h,f(a+h)) f(a+h)-f(a) h

11 Hacemos que h sea cada vez más pequeño
Hacemos que h sea cada vez más pequeño. Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a. De esta forma: A a a+h P h

12 P está muy próximo a A La secante AP “casi” se confunde con la tangente t La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t A a a+h P h Ahora bien, el valor de h no puede ser 0, aunque sí todo lo pequeño que se quiera. Y aquí interviene el concepto de límite.

13 Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite
P está muy próximo a A La secante AP “casi” se confunde con la tangente t La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t P A a a+h Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite

14 Calcula la derivada de f(x)=x2/4 para a=2
Tenemos que calcular el siguiente límite:

15 ¿Qué información da lo anterior?
f(x)=x2/4 * La pendiente de la recta tangente a la función en el punto x=2 es 1, por lo que la recta tangente a mi función en x=2 es: * Además como la derivada es +, esto indica que cerca de x=2 la función es creciente. (x0,y0) y=y0+m(x-x0)