Funciones Presentado por: Tammy Roterman y Orli Glogower

Presentación del tema: "Funciones Presentado por: Tammy Roterman y Orli Glogower"— Transcripción de la presentación:

1 Funciones Presentado por: Tammy Roterman y Orli Glogower
Presentado a: Patricia Cáceres Décimo Grado

2 Funciones Tipos Definición Formas de expresar Características
Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas Funciones Pares e Impares

3 Función Definición Una función es una relación entre un conjunto dado X (el conjunto de salida) y otro conjunto de elementos Y (el conjunto de llegada) de manera que a cada elemento x del conjunto de salida le corresponda uno y solo un elemento del conjunto de llegada f(x). A cada Pre Imagen le corresponde una sola y solo una Imagen.

4 Formas de expresar una función
Una función se puede expresar de 4 distintas formas: Enunciado Tabla Gráfica Algebraicamente

5 Una función se expresa a través de una tabla, cuando se dan algunos valores de X con los valores correspondientes de Y. Ejemplo: X 2 8 10 12 Y 3 4

6 Una función se expresa a través de un enunciado cuando se describe verbalmente.
Ejemplo: Una función es la relación entre los elementos del conjunto de salida y los elementos del conjunto de llegada.

7 Una función se expresa a través de una formula o expresión algebraica cuando se da una ecuación en la que se relacionan las variables X y Y. Ejemplo: f(x)= 4X2 – 3X + 8 f(x)= 2X + 4 f(x)= X3 + 2X2 – 4X + 3

8 Una función se expresa a través de una gráfica, cuando se representan los pares (x,y) en el plano cartesiano. Ejemplo:

9 Características de las funciones
Variable dependiente Variable independiente Imagen Pre Imagen Dominio Rango Conjunto de salida Conjunto de llegada Punto de corte con X Punto de corte con Y Crecimiento Periodicidad Máximos y mínimos

10 Son los posibles valores del conjunto de llegada
Son los posibles valores del conjunto de llegada. La variable dependiente se llama Y. Son los posibles valores del conjunto de salida. La variable independiente se llama X. Características

11 f a b c 4 Y X Imagen: Los valores del conjunto de llegada que se relacionan con los valores del conjunto de salida. Pre Imagen: Los valores del conjunto de salida que se relacionan con los valores del conjunto de llegada. Características

12 Rango: Conjunto formado por las Imágenes.
Dominio: Conjunto formado por las Pre Imágenes. Características

13 Conjunto de Salida: Conjunto de los elementos que componen al dominio.
Conjunto de Llegada: Conjunto de los elementos que son las Imágenes de los valores del conjunto de salida. Características

14 Punto de corte con Y: Se halla cuando X=0. Se reemplaza X por 0.
Punto de corte con X: Se halla cuando Y=0. Se iguala la función a 0, y se resuelve la ecuación resultante. Punto de corte con Y: Se halla cuando X=0. Se reemplaza X por 0. Características

15 Periodicidad: Una función es periódica, si su gráfica se repite en intervalos de amplitud constante. Periodo: Longitud del intervalo que se repite. Máximos y mínimos: Máximo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es mayor que en los puntos que están próximos. Mínimo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es menor que en los puntos que están próximos. Crecimiento: Función creciente: Es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y. (a es positivo) Función decreciente: Es decreciente, cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y. (a es negativo) Características

16 Funciones Inyectivas: Funciones Sobreyectivas:
Una función es Inyectiva si a cada Imágen le corresponde una única Pre Imágen. Funciones Sobreyectivas: Una función es Sobreyectiva si cada elemento del rango es como mínimo la imagen de un elemento del domino. X Y X Y 1 2 3 4 D B C 1 2 3 D B C A

17 Función Biyectiva: Una función es Biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada (inyectiva), sumándole que a cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada (sobreyectiva). X Y 1 2 3 4 D B C A

18 Función Par: Función Impar:
Se llama función par a la que para todo x perteneciente al Domino de la función, se cumple que: Se produce una simetría con respecto al eje y. Ejemplo: f(x)= X2 f(-2)= 4 f(2)= 4 Todas las funciones pares cumplen la ecuación: Función Impar: Se llama función impar a la que para todo x perteneciente al Dominio de la función, se cumple que: Se produce una simetría con respecto al origen de coordenadas. Ejemplo: f(x)= X3 f(2)=8 f(-2)=-8 Todas las funciones impares cumplen la ecuación:

19 Impar

20 Par

21 Tipos de funciones Por Partes o A Trozos Polinómicas Racional
Exponencial Trigonométricas Logarítmica Valor Absoluto

22 Funciones polinómicas
Grado Par Constante Grado Impar Cuadrática Lineal Cúbica Afín Idéntica

23 Funciones Trigonométricas
Círculo Gonio métrico Funciones Trigonométricas Secante Seno Cotangente Coseno Tangente Cosecante

24 Generalidades de una función Polinómica
Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de polinomios. Según el grado del polinomio, las funciones polinómicas se pueden clasificar en: En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de operaciones: Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x). Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x). Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x). Grado Nombre Expresión Constante y= a Lineal y= ax + b Cuadrática y= ax2 + bx + c Cúbica y= ax3 + bx2 + cx + d

25 Función Constante Elementos EJEMPLO
Es una función polinómica de grado cero que no depende de ninguna variable. Se define por la ecuación: y= a Elementos Dominio= IR Rango= a Conjunto de Salida= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con x= no existe Punto de corte con y= a EJEMPLO

26 Constante Análisis: y= 6 Dominio-Conjunto de salida= IR
Conjunto de llegada= IR Rango= {6} Punto de corte con y= 6

27 Función Afín Elementos EJEMPLO
La función afín viene dada por la ecuación: y= mx+n Donde X y Y son las variables m es la pendiente n es la ordenada en el origen La m de una recta determina la inclinación de la misma, entonces: Si m<0 decreciente Si m>0 creciente Si m=0 constante m se calcula: Elementos Dominio= IR Conjunto de Salida= IR Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con y= n EJEMPLO

28 Afín Análisis: y= 6x +2 Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 2 Punto de corte con x= -1/3 Pendiente= 6

29 y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e
Funciones de Grado Par Las funciones de grado par son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es par. Se definen por la ecuación: y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e EJEMPLO

30 Grado Par y= 2X4 + 4x3 + 6x2 – x + 8

31 Función Cuadrática Elementos EJEMPLO
Es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como: Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según sea el signo de a. El vértice de una parábola se halla mediante la ecuación: Dominio= IR Rango= (máximo o mínimo relativo, Conjunto de salida= IR Conjunto de llegada= IR Punto/s de corte con x: y= 0, se halla/n mediante la formula cuadrática: Punto de corte con y= c Elementos EJEMPLO

32 Cuadrática Análisis: y= x2 + 3x – 4 Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= -4 Punto de corte con x= {-4, 1} Mínimo relativo= -3/2

33 Funciones de Grado Impar
Las funciones de grado impar son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es impar. Se definen por la ecuación: y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e EJEMPLO

34 Grado Impar y= 3x3 + 2x2 – x + 4

35 Función Lineal Elementos EJEMPLO
Es la función que se define por la ecuación: y= mx Elementos Dominio= IR Rango= IR Conjunto de Salida= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con Y= 0 Punto de corte con X= 0 EJEMPLO

36 Lineal Análisis: y= 4x Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x= 0 Pendiente= 4

37 Función Idéntica Elementos EJEMPLO
Es la función que asigna como imagen a cada elemento del dominio el mismo elemento. Se define por la ecuación: y= x Su pendiente es m=1 Su gráfica es la recta bisectriz de los cuadrantes primero y tercero. Elementos Dominio= IR Conjunto de Salida= IR Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con X y Y= 0 EJEMPLO

38 Idéntica Análisis: y= x Dominio-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x= 0

39 Función Cúbica Elementos EJEMPLO
Función que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: con a ≠ 0 , a,b,c,d ∈ IR Elementos Dominio= IR Conjunto de Salida= IR Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con y= d EJEMPLO

40 Cúbica Análisis: y= x3 + 3x2 + 4x + 6 Domino-Conjunto de salida= IR
Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 6 Punto de corte con x= -2.5

41 Función Valor Absoluto
La función de valor absoluto se define por la ecuación: y= IxI + c El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo. IXI= X, Si X > 0 -X, Si X < 0 El valor absoluto de X siempre será igual o mayor que cero, y nunca será negativo.

42 Propiedades del Valor Absoluto
No negatividad : |a| ≥ 0 Definición positiva: |a| = 0 a = 0 Propiedad multiplicativa: |ab| = |a||b| Propiedad aditiva: |a+b| ≤ |a|+|b| Simetría: |-a| = |a| Identidad de indiscernibles : |a-b|= 0 a=b Desigualdad triangular: |a-b| ≥ |a-c|+ |c-b| Elementos Dominio= IR Conjunto de Salida= IR Rango= (mínimo, ∞) o ( - ∞, máximo) Conjunto de Llegada= IR Punto de Corte con x= No existe Punto de Corte con y= c EJEMPLO

43 Valor Absoluto Análisis: y= IxI Dominio= IR Conjunto de salida= IR
Rango= (0, ∞) Conjunto de llegada= IR Punto de corte con x= No existe Punto de corte con y= No hay

44 Para un desplazamiento horizontal:
y= Ix + 2I Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (0, ∞) Conjunto de llegada= IR Punto de corte con x= No existe Punto de corte con y= 2 Desplazamiento horizontal= 2 Para un desplazamiento vertical: y= IxI + 4 Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (4, ∞) Conjunto de llegada= IR Punto de corte con x= No existe Punto de corte con y= 4 Desplazamiento vertical= 4

45 Función Logarítmica La función logarítmica se define por la ecuación: y= loga x Solo esta definida en los números positivos. Si 0<a<1: Dominio= IR + Conjunto de Salida= IR + Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Puntos que pertenecen a la gráfica: (1,0) y (a,1) Decreciente Si a>1: Dominio= IR + Conjunto de Salida= IR + Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Puntos que pertenecen a la gráfica: (1,0) y (a,1) Creciente

46 EJEMPLO Deducciones de los logaritmos Propiedades de los logaritmos
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. 3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. 4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz. 5. Cambio de base Deducciones de los logaritmos No existe el logaritmo de un número con base negativa número negativo No existe el logaritmo de cero El logaritmo de 1 es cero El logaritmo en base a de a es uno El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente. Propiedades de los logaritmos 1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. EJEMPLO

47 Logarítmica Análisis: y= log x Dominio= IR + Conjunto de salida= IR +
Rango= IR Conjunto de llegada= IR Punto de corte con x= 1 Punto de corte con y= No hay

48 Para un desplazamiento horizontal:
y= log x (x + 2) Dominio= IR + Conjunto de salida= IR + Rango= IR Conjunto de llegada= IR Punto de corte con x= -1 Punto de corte con y= No hay Desplazamiento horizontal= 2 Para un desplazamiento vertical: y= log x (x) + 4 Dominio= IR + Conjunto de salida= IR + Rango= IR Conjunto de llegada= IR Punto de corte con x= No hay Punto de corte con y= No hay Desplazamiento vertical= 4

49 Elementos Función Racional
En las funciones racionales, la variable X no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de Y es el conjunto de todos los números reales excepto los ceros de q. La función racional está definida por una expresión algebraica que es el cociente de dos polinomios: Elementos Dominio= IR- {asíntotas verticales} Conjunto de Salida= IR Rango= R- {asíntotas horizontales} Conjunto de Llegada= IR Punto de Corte con x= Se iguala a 0 el numerador. Punto de Corte con y= Se sustituye x por 0 en la ecuación original.

50 Verticales Horizontales
Asíntotas Las asíntotas son rectas a las cuales se aproxima una función sin llegar a ellas. Para: Verticales Horizontales 1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal. 2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal. 3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales. Es el valor que no pertenece al dominio de la función, pero tampoco la anula. Se hallan igualando el denominador a 0. EJEMPLO

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52 Función Exponencial La función exponencial se define por la ecuación: y= ax, donde a y x son números reales. Cuando a<1, la función es decreciente. Cuando a>1, la función es creciente. (a debe ser diferente de 1) También está la función exponencial natural definida por la ecuación y=ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente

53 Propiedades de los Exponentes
1. 2. 3. 4. 5. 6. Elementos Dominio= IR Conjunto de Salida= IR Rango= (0, ∞) Conjunto de Llegada= IR Punto de Corte con y= 1 El eje x es una asíntota horizontal. EJEMPLO

54 Exponencial Análisis: y= 2x Dominio= IR Conjunto de salida= IR
Rango= (0, ∞) Conjunto de llegada= IR Punto de corte con x= No hay Punto de corte con y= 1

55 Para desplazamientos verticales:
y= 2x + 2 Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (0, ∞) Conjunto de llegada= IR Punto de corte con x= No hay Punto de corte con y= 3 y= 2x + 4 Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (0, ∞) Conjunto de llegada= IR Punto de corte con x= No hay Punto de corte con y= 5

56 Función A Trozos La función a trozos o por partes se define cuando se usan dos o más ecuaciones. Para distintos valores de X se deben usar distintas fórmulas que permitan calcular la imagen Y que les corresponde. Es muy importante conocer qué formula usar con cada valor de X, por lo que cada una de las fórmulas se acompaña obligatoriamente de una condición que especifica su dominio de aplicación. Así, tiene el siguiente aspecto:

57 Elementos Por ejemplo, para:
Si x toma valores inferiores a -7, el criterio es x + 1, pero si x toma valores iguales o mayores a -7, el criterio es 2x + 4. En la gráfica de una función definida a trozos se suelen distinguir claramente varias partes distintas, aunque pueden estar unidas. Elementos En la función f (x) cada ecuación tiene su dominio individual; uniendo ambos dominios se obtiene el dominio de f (x).  Por lo tanto: Dominio= dominio ₁ U dominio ₂ Los dominios aparecen como intervalos o puntos. Conjunto de Salida= dominio ₁ U dominio ₂

58 Círculo Goniométrico El círculo goniométrico o círculo trigonométrico es el círculo con centro en el origen de coordenadas. Su radio tiene como medida unitaria el valor de 1. Está dividido en cuatro partes iguales llamadas cuadrantes, y se numeran en dirección opuesta a las manecillas del reloj. (I, II, III, IV)

59 En la medida de los ángulos, se emplean tres unidades básicamente:
Radián: Se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Es la unidad más usada en cuanto a trigonometría. Grado centesimal: Unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales. Grado sexagesimal: Unidad angular que divide una circunferencia en 360º. Cada grado se divide en 60’(que se lee 60 minutos de arco) y cada minuto de arco se divide en 60’’ (que se lee 60 segundos de arco).

60 Propiedades de las Funciones Trigonométricas
Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada. Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas. Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p. Cada tiene una razón inversa. Así, la cotangente es recíproca de la tangente, la cosecante es recíproca del seno, y la secante es recíproca del coseno. Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje y: cos (-x) = cos x.

61 Elementos Función Seno EJEMPLO
La función seno es periódica, limitada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales. Se define por la ecuación: y= sen x, y su inversa es y= 1/csc x. El seno de un ángulo α se define: sen α= y/r, siendo r el radio, y Y la coordenada Y. Elementos Punto de Corte con x= (0 + π k) Punto de Corte con y= (0,0) Periodo= 2π rad Creciente= … U( -π/2, π/2) U (3π/2, 5π/2) U… Decreciente= …U(π/2, 3π/2) U (5π/2, 7π/2) U… Amplitud= 1 Dominio= IR Conjunto de Salida= IR Rango= [-1, 1] Conjunto de Llegada= IR Máximos= Mínimos=

62 y= sen x

63 Elementos Función Coseno EJEMPLO
La función coseno es periódica y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales. Se define por la ecuación: y= cos x, y su inversa es y= 1/sec x. El coseno de un ángulo α se define: cos α= x/r, siendo r el radio, y X la coordenada X. Elementos Punto de Corte con x= (π/2 + k) Punto de Corte con y= (0,1) Periodo= 2π rad Creciente= … U( -π, 0) U (π, 2π) U… Decreciente= …U(0, π) U (2π, 3π) U… Amplitud= 1 Dominio= IR Conjunto de Salida= IR Rango= [-1, 1] Conjunto de Llegada= IR Máximos= Mínimos=

64 y= cos x

65 Elementos Función Tangente EJEMPLO
La función tangente es periódica y asocia a todo el conjunto de los números reales. Se define por la ecuación: y= tg x, y su razón recíproca es y= 1/ctg x. La tangente de un ángulo α se define: tg α= y/x, siendo Y la coordenada Y, y X la coordenada X. Elementos Dominio= Conjunto de Salida= Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Máximos= No tiene Mínimos= No tiene Punto de Corte con x= (0 + π k) Punto de Corte con y= No hay Periodo= π rad Creciente= IR

66 y= tg x

67 Elementos Función Cosecante EJEMPLO
La función cosecante es periódica y asocia a todo el conjunto de los números reales. Se define por la ecuación: y= csc x, y su razón recíproca es y= 1/sen x. La cosecante de un ángulo α se define: csc α= r/y, siendo r el radio, y Y la coordenada Y. Elementos Dominio= Conjunto de Salida= Rango= (- ∞, -1) U ( 1, ∞) Conjunto de Llegada= IR Máximos= Mínimos= Punto de Corte con x= No hay Punto de Corte con y= No hay Periodo= 2π rad Creciente= … U (π/2, π) U (π, 3π/2) U… Decreciente= … U (0, π/2) U (3π/2, 2π) U…

68 y= csc x

69 Elementos Función Secante EJEMPLO
La función secante es periódica y asocia a todo el conjunto de los números reales. Se define por la ecuación: y= sec x, y su razón recíproca es y= 1/cos x. La secante de un ángulo α se define: sec α= r/x, siendo r el radio, y X la coordenada X. Elementos Punto de Corte con x= No hay Punto de Corte con y= No hay Periodo= 2π rad Creciente= … U (0, π/2) U (π/2, π) U… Decreciente= … U (π, 3π/2) U (3π/2, 2π) U… Dominio= Conjunto de Salida= Rango= (- ∞, -1) U ( 1, ∞) Conjunto de Llegada= IR Máximos= Mínimos=

70 y= sec x

71 Elementos Función Cotangente EJEMPLO
La función cotangente es periódica y asocia a todo el conjunto de los números reales. Se define por la ecuación: y= ctg x, y su razón recíproca es y= 1/tg x. La cotangente de un ángulo α se define: ctg α= x/y, siendo X la coordenada X, y Y la coordenada Y. Elementos Punto de Corte con x= (π/2 + k) Punto de Corte con y= No hay Periodo= π rad Decreciente= IR Dominio= Conjunto de Salida= Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Máximos= No tiene Mínimos= No tiene

72 y= ctg x

73 Referencias de consulta