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Introducción al cálculo de órbitas Tema 10. Leyes de Newton Dos puntos materiales A y B de masas m y m situados a una distancia d ejercen uno sobre otro.

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1 Introducción al cálculo de órbitas Tema 10

2 Leyes de Newton Dos puntos materiales A y B de masas m y m situados a una distancia d ejercen uno sobre otro una fuerza de gravitación dirigida según AB directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia Si un cuerpo de masa m 2 está orbitando alrededor de otro de masa m 1 con un periodo P 2 y un semieje mayor a 2 se verifica Leyes de Keppler 1.Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol. 2.Las áreas barridas por el radio vector en tiempos iguales son iguales. Es decir el Área es proporcional al tiempo que tarda en recorrerla. 3.Los cubos de los semiejes mayores son proporcionales a los cuadrados de los periodos.

3 PERIHELIO: Instante en que el astro se encuentra más cerca del Sol. Por la primera de ley de Keppler esto ocurrirá cuando se encuentre en un extremo del semieje mayor. Y por la segunda ley sabemos que en ese momento debe moverse más rápido en su órbita. (En el caso de hablar de la Tierra y sus satélites se habla de PERIGEO) AFELIO: Instante en que el astro se encuentra más lejos. Es decir al otro extremo del semieje mayor, en ese momento debe moverse más despacio en su órbita.(APOGEO en caso de tratarse de la Tierra y sus satélites) Por la Tercera Ley de Keppler sabemos que cuánto más alejados están los planetas más lentamente se mueven en su órbita, es decir, su periodo orbital es mayor. El sistema solar consta de 9 planetas 90 satélites asteroides situados entre Marte y Júpiter de los que sólo 8830 tienen nombre y 878 cometas aproximadamente.

4 ELEMENTOS ORBITALES o KEPPLERIANOS i = inclinación del plano de la órbita = Longitud eclíptica del Nodo Ascendente. a = semieje mayor de la elipse. e = excentricidad = Argumento del perihelio. t 0 = Instante de paso por el perihelio Posición del plano orbital Dimensión de la elipse Orientación de la elipse En el sistema Eclíptico las coordenadas son λ y β

5 r Plano orbital. Coordenadas en el sistema orbital ANOMALÍA VERDADERA (v): Ángulo formado en el foco de la elipse entre la dirección del perihelio y la dirección del planeta. Varia de en el transcurso de un periodo orbital y es cero en el perihelio. ANOMALÍA EXCÉNTRICA (E): Considerando la circunferencia de radio el semieje mayor de la órbita y proyectando, perpendicularmente al eje x, sobre ella la posición del planeta, se define E como el ángulo en el centro de la elipse entre la dirección del perihelio y la dirección de la proyección del planeta. Como la verdadera ésta también es cero en el perihelio y varía de MOVIMIENTO MEDIO (n): Velocidad angular constante con que se movería el planeta en una órbita circular. n=2 /P. Donde P es el periodo orbital. Fácil de determinar por la tercera ley de Keppler. ANOMALÍA MEDIA (M): Arco que recorrería el planeta que se moviera sobre una circunferencia con movimiento circular uniforme y velocidad el movimiento medio. M=n(t-t0), siendo t0 el instante de paso por el perihelio. Como las otras dos anomalías también es un ángulo que es cero en el perihelio y varia de pero ésta variación a diferencia de las otras anomalías es uniforme en el tiempo. En el sistema Orbital las coordenadas son

6 Relación entre elementos orbitales y coordenadas eclípticas. λ, β se pueden obtener en función de los elementos orbitales ω,v, i, Ω r se obtiene en función de a, e, E E se obtiene por la ecuación de Keppler E=M+e sin E Y las coordenadas espaciales se pueden expresar como Dividiendolas

7 Cálculo de la posición espacial en un instante t en función de los elementos orbitales. Calcular movimiento medio n Calcular la anomalía media M Calcular la anomalía Excéntrica E (por aproximaciones sucesivas de la ecuación de Keppler E 0 =M, E 1 =M+e sin(E 0 ),… E n =M+e sin(E n-1 )). Calcular r en función de a,e,E Calcular anomalía verdadera Calcular coordenadas eclípticas en función de ω,v, i, Ω Calcular la posición espacial en un instante t

8 Tipos de órbitas en satélites artificiales Polares (i=90), Ecuatoriales (i=0) LEO :bajas, semieje km. se usan para estudiar el campo de gravedad de la Tierra, Atmósfera, telefonía etc… MEO :medias km. se usan para posicionamiento. GEO: Órbita Terrestre Geosíncrona (24 horas periodo), altas, de semieje km. Geoestacionarias= Geosíncrona ecuatorial.

9 SATÉLITES ARTIFICIALES. CONSTELACIÓN GPS 6 planos orbitales con 4 satélites por plano. Inclinación semieje mayor y periodo aproximado de 55 0, Km y 12 horas sidéreas respectivamente. El sistema de referencia empleado para definir los elementos orbitales es GEOCÉNTRICO ECUATORIAL ABSOLUTO. Se utilizan los mismos elementos orbitales donde la longitud del nodo ascendente se sustituye por ascensión recta del nodo ascendente. EJERCICIO. Calcular la posición de uno de los satélites GPS 3 horas después de su paso por el perihelio si sus elementos orbitales son: a= Km e= i=55 0 ω= Ω=


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