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MOVIMIENTOS DE LOS CUERPOS CELESTES. LEY DE LA GRAVITACIÓN.

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1 MOVIMIENTOS DE LOS CUERPOS CELESTES. LEY DE LA GRAVITACIÓN

2 Ptolomeo observó que ciertos planetas realizaban movimientos retrógrados, volviendo sobre su trayectoria formando lazos en la esfera celeste Para justificarlo utilizó un movimiento compuesto por dos movimientos: a) El planeta se mueve sobre el epiciclo (circunferencia pequeña de trazos) b) Cuyo centro a su vez se mueve sobre el deferente (circunferencia grande de trazos). EL GEOCENTRISMO DE PTOLOMEO Claudio Ptolomeo vivió en Alejandría en el siglo II y fue el más célebre astrónomo de la antigüedad.Publicó sus observaciones en su obra ALMAGESTO. La Teoría Geocéntrica coloca la Tierra en el centro del universo, y los astros, incluido el Sol, girando alrededor de la Tierra. E stuvo en vigor hasta el siglo XVI cuando fue reemplazada por la teoría heliocéntrica.siglo XVIteoría heliocéntrica

3 Teoría Heliocéntrica de COPÉRNICO. ( d.C.) La Teoría Heliocéntrica nos dice que la Tierra y los planetas se mueven alrededor de un Sol relativamente estacionario y que está en el centro del Sistema Solar. La idea de que la Tierra gira alrededor del Sol fue propuesta desde el siglo III a.C. por Aristarco de Samos aunque no recibió apoyo de otros astrónomos de la antigüedad.Tierra SolSistema SolarAristarco de Samos Este planteamiento le permitió justificar el movimiento retrógrado de los planetas para el que Ptolomeo había introducido los epiciclos. A A A C C C D D D G G G H H H B B B I I I F F F E E E

4 La contribución de GALILEO. ( d.C.) Se convirtió en el primer defensor a ultranza del sistema heliocéntrico copernicano Encontró infinidad de estrellas nunca vistas hasta entonces y llegó a descubrir la deformidad de la Luna y su superficie rugosa En 1610 Galileo descubrió los satélites de Júpiter, confirmando así que la Tierra no era el centro del universo En 1632 publicó en Florencia su obra Diálogo sobre los dos grandes sistemas del mundo Un año después fue procesado por la Inquisición Galileo nació en Pisa en 1564

5 LAS LEYES DE KEPLER. ( d.C.) Sol Foco Eje menor Las leyes de Kepler describen la cinemática del movimiento de los planetas en torno al Sol. Con los datos de Tycho Brahe, tras cuatro años de observaciones sobre Marte, llegó a la conclusión de que las órbitas de los planetas no eran circulares Descubrió que la elipse era la curva que mejor podía definir el movimiento planetario La posición del extremo del semieje mayor más alejada del Sol se llama afelio Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, estando situado éste, en uno de sus focos Afelio b a Eje mayor La posición más cercana, es el perihelio. Perihelio

6 Segunda ley: El radiovector dirigido desde el Sol a los planetas, barre áreas iguales en tiempos iguales Kepler observó que la velocidad de los planetas dependía de su posición en la órbita. v AFELIO < v PERIHELIO Tercera ley: El cuadrado de los periodos de revolución de los planetas alrededor del Sol (T) es proporcional a los cubos de los radios medios, de sus órbitas (r), T 2 = Kr 3 siendo K una constante igual para todos los planetas 1 Junio 30 Junio 1 Diciembre 30 Diciembre

7 Actividades: 1.- La Estación Espacial Internacional (ISS) orbita a una altura media de 340 km sobre la superficie terrestre. Teniendo en cuenta que la distancia Tierra-Luna es de km y que el período lunar es de s, determina cuánto tardará la ISS en dar una vuelta completa a la Tierra. R T = km (Sol: 92 minutos), 2.- A partir de los datos orbitales terrestres con respecto al Sol (T = 365 días y r sol-TIERRA = m) determina cuánto tarda Júpiter en completar una órbita alrededor del Sol (en segundos y años terrestres) sabiendo que su distancia al Sol es de m. (Sol: s = 11.8 años). 3.- Conocidas las distancias r P y r A, deduce la relación entre las velocidades del planeta en los puntos P y A. ¿Avalan estos resultados las observaciones de Kepler? rArA rPrP

8 NOCIONES ACTUALES SOBRE EL SISTEMA SOLAR -Leyes de Kepler descripción cinemática del movimiento planetario. -Nuestro SOL tampoco es el centro de nada. -Regularidades de nuestro sistema solar: a) Los planetas efectúan dos movimientos: traslación alrededor del Sol y rotación en torno a su propio eje. b) Los planetas describen órbitas planas alrededor del Sol. c) Casi todas las órbitas planetarias están en el plano de la Eclíptica. d) Todos los planetas se trasladan en el mismo sentido alrededor del Sol. NOCIONES ACTUALES SOBRE EL SISTEMA SOLAR -Leyes de Kepler descripción cinemática del movimiento planetario. -Nuestro SOL tampoco es el centro de nada. -Regularidades de nuestro sistema solar: a) Los planetas efectúan dos movimientos: traslación alrededor del Sol y rotación en torno a su propio eje. b) Los planetas describen órbitas planas alrededor del Sol. c) Casi todas las órbitas planetarias están en el plano de la Eclíptica. d) Todos los planetas se trasladan en el mismo sentido alrededor del Sol.

9 CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR EN EL CAMPO GRAVITATORIO m F II r Fuerza central depende de r m Si la fuerza es central, los vectores y tienen la misma dirección y su momento cinético es constante: La conservación del momento angular implica que se conserven módulo, dirección y sentido ¿Por qué?

10 El momento angular será perpendicular al plano que forman los vectores y, por tanto la trayectoria de la partícula debe estar en un plano Si conserva el sentido, la partícula siempre recorrerá la órbita en el mismo sentido de giro. X Y Z m O p L r F Considerando el perihelio (P) y el afelio (A): Por conservar el sentido Por conservar la dirección: Por conservar el módulo:

11 LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Publicada por NEWTON en su obra PRINCIPIOS MATEMÁTICOS DE FILOSOFÍA NATURAL (1 686 d.C.) LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Publicada por NEWTON en su obra PRINCIPIOS MATEMÁTICOS DE FILOSOFÍA NATURAL (1 686 d.C.) La interacción entre dos masas: a)es una interacción a distancia y se representa en la línea que une ambas masas. b)es CENTRAL al tener dirección RADIAL. c)es directamente proporcional al producto de las dos masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. d) es siempre ATRACTIVA. e) la distancia r se determina desde el centro de masas de cada una de ellas. f) es independiente del medio en que se encuentren las masas. M m r F F

12 Actividades: 1.- ¿A qué distancia del centro lunar es atraída con una fuerza de 1 N una masa de 1 kg?. R L = m. M L = kg (Sol: km). 2.- Dos esferas de 100 y 200 kg respectivamente se encuentran separadas 1 m a lo largo del eje-Y, la esfera de 100 kg está situada encima de la otra. Determina la fuerza neta que ejercen sobre una tercera masa de 0.1 kg situada sobre el eje-X a 0.25 m del punto medio entre las esferas. Expresa el resultado en notación vectorial y calcula el módulo y la dirección de la fuerza neta. 3.- Deduce la expresión de la aceleración de caída libre de los cuerpos en las superficies planetarias. ¿Qué aproximación podremos utilizar si consideramos h << R PLANETA ? 4.- Si la masa de la Luna es veces la de la Tierra y su radio aproximadamente 0.27 veces el terrestre, determina: a)la aceleración de caída de los objetos en la superficie lunar. (Sol: 1.88 m/s 2 ) b)la distancia que recorre un cuerpo en 3 s cayendo libremente. (Sol: 7.2 m) c)la altura a la que ascendería un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba si con la misma velocidad se elevara en la Tierra hasta 30 m. (Sol: m) 5.- Considerando un planeta de masa m que orbita alrededor del Sol de masa m S siguiendo una trayectoria circular de radio r, demuestra la 3ª ley de Kepler, utilizando la Ley de la Gravitación Universal.

13 6.- La Estación Espacial Internacional gira alrededor de la Tierra siguiendo una órbita circular a una altura h = 340 km sobre la superficie terrestre. Deduce la expresión teórica y calcula el valor numérico de : a)La velocidad de la Estación Espacial en su movimiento alrededor de la Tierra. ¿Cuántas órbitas completa al día? b) La aceleración de la gravedad a la altura a la que se encuentra la estación espacial. Datos: R T = km;; M T = kg;; G = Nm 2 /kg Un satélite se sitúa en órbita circular alrededor de la Tierra. Si su velocidad orbital es de m/s, calcula el radio de la órbita y el período orbital del satélite. Datos: R T = m;; g o = 9.8 m/s El módulo del campo gravitatorio de la Tierra en su superficie es una constante de valor g o. Calcula a qué altura h desde la superficie el valor del campo se reduce a la cuarta parte de g o. Realiza primero el cálculo teórico y después el numérico, utilizando únicamente este dato: Radio de la Tierra, R T = km. (Sol: h = km). 9.- El Apolo VIII orbitó en torno a la Luna a una altura de su superficie de 113 km. Si la masa lunar es la terrestre y su radio e 0.27 veces el terrestre, Calcula: a)El período de su órbita. (Sol: s) b)Su velocidad orbital y su velocidad angular. (Sol: m/s;; rad/s). Datos: g o = 9.81 m/s 2 ;; R T = km)

14 ENERGÍA POTENCIAL ASOCIADA A UNA FUERZA CENTRAL -¿Toda fuerza CENTRAL es CONSERVATIVA?: a) Si la fuerza es central, la trayectoria será CÍCLICA, y como F r, el trabajo realizado por dicha fuerza para desplazamientos infinitesimales en la trayectoria cíclica, será NULO. b) Como el trabajo realizado por una fuerza conservativa sólo depende de las posiciónes inicial y final, pero no de la trayectoria seguida, y como en una trayectoria cíclica las posiciones inicial y final coinciden, deducimos que el trabajo realizado por las fuerzas conservativas en un ciclo cerrado es NULO. c) Concluimos por tanto que toda fuerza CENTRAL es CONSERVATIVA. -A toda fuerza conservativa se le puede asociar una energía potencial (o energía que depende de la posición del objeto): La energía potencial asociada a la fuerza gravitatoria es: 1.- El signo (-) se debe al carácter ATRACTIVO de la F G 2.- La E P es una magnitud ESCALAR y su unidad en el SI es el julio (J). -El trabajo realizado por una fuerza conservativa:

15 Actividades: 1.- Deducir la expresión de la Ep = mgh que utlizamos cuando un cuerpo de masa m se encuentra a cierta altura h sobre la superficie de un planeta, siendo h<<

16 ASPECTOS ENERGÉTICOS DEL MOVIMIENTO EN EL ESPACIO DE LOS CUERPOS 1.- PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA DE PLANETAS Y SATÉLITES EN SUS RESPECTIVAS ÓRBITAS.- Los planetas y satélites en su movimiento orbital cumplen el PCEM aunque la órbita sea elíptica. Efectivamente, la velocidad es distinta en el afelio y en el perihelio (v AFELIO < V PERIHELIO lo que determina que Ec(afelio)

17 Forma de las trayectorias según el valor de la E T Sol Dado que dentro de un campo de fuerzas gravitatorio la energía potencial de un cuerpo siempre es negativa, y su energía cinética siempre positiva, la E T de ambas podrá ser negativa, nula o positiva Si es la mitad de la E p Atendiendo al signo de la E T, la trayectoria descrita por el cuerpo, será una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola CIRCUNFERENCIA Si es mayor que la anterior pero menor que cero ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLA Si E T = 0 E c = E p Si E T 0 E c E p

18 2.- ENERGÍA DE AMARRE O LIGADURA (E L ).- -Energía mínima necesaria para que un cuerpo de masa m pueda escapar de la atracción gravitatoria de un planeta. - Por definición: E L = -E P (en la superficie del planeta) 3.- VELOCIDAD DE ESCAPE DE LA SUPERFICIE DE UN PLANETA (v e ).- -La energía cinética que se le ha de comunicar a un objeto de masa m para escapar TOTALMENTE de la atracción gravitatoria de un planeta ha de ser, como mínimo, igual a la energía de ligadura, de forma que la velocidad de escape: (TIERRA) R R

19 Actividades: 1.- ¿Cuánta energía se le ha de comunicar a una sonda espacial de 500 kg de masa para ponerla en órbita circular de radio 2R T alrededor de la Tierra?. 2.- Si el radio de la Luna es 0.27 veces el terrestre y la masa lunar es la terrestre: a-¿cuál es la velocidad de escape de la superficie lunar?.(Sol:2.35 km/s). b-¿cuánto valdrá la energía de ligadura lunar por kg de masa?.(Sol: J/kg). 3.- La distancia de la Tierra al Sol es de km en el afelio, mientras que en el perihelio es de km. Si la velocidad orbital de la Tierra es de m/s en el perihelio, determina por conservación de la energía mecánica, cuál será su velocidad en el afelio?.(Sol: m/s). 4.- Una sonda espacial de kg se halla en una órbita circular a una distancia R T sobre la superficie de la Tierra. ¿Cuánta energía se requiere para transferir la sonda hasta otra órbita circular de distancia 2R T sobre la superficie de la Tierra?.(Sol: J). Datos: R T = km;; M T = kg G = Nm 2 /kg 2 E

20 5.- Los agujeros negros se denominan así porque su increíble densidad hace que su acción gravitatoria sea tan intensa que ni la luz tiene suficiente velocidad de escape para salir de él. A la distancia crítica en la que este hecho sucede (medida desde el centro del agujero) se la denomina radio de Schwarzchild. ¿Cuál sería este radio para un agujero de diez masas solares?. (Sol: m) Datos: M SOL = kg;; velocidad de la luz c = m/s. 6.-Halla la velocidad de escape de la superficie de un planeta cuyo radio es un tercio del terrestre, y cuya aceleración gravitatoria en la superficie del planeta es de 5.4m/s 2. (Sol: m/s). 7.- Explica brevemente el significado de la velocidad de escape. ¿Qué valor adquiere la velocidad de escape en la superficie de la Tierra?. Calcúlala utilizando exclusivamente los siguientes datos: R T = m;; aceleración de la gravedad g o = 9.8 m/s Un satélite se sitúa en órbita circular alrededor de la Tierra. Si su velocidad orbital es m/s calcula: a)El radio de la órbita y el periodo orbital del satélite. b)La velocidad de escape del satélite desde ese punto. Datos: utilizar exclusivamente: g o = 9.8 m/s 2 ;; R T = m

21 9.- La velocidad de escape de un objeto desde la superficie de la Luna es de m/s. Calcula la velocidad de escape de dicho objeto desde la superficie de un planeta de radio 4 veces el de la Luna y masa 80 veces la de la Luna Se sabe que la energía mecánica de la Luna en su órbita alrededor de la Tierra aumenta con el tiempo. Escribe la expresión de la energía mecánica de la Luna en función del radio de su órbita y, discute si se está alejando o acercando a la Tierra. Justifica la respuesta prestando especial atención a los signos de las energías.


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