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Ejercitación Cálculo I Carola Muñoz R. 1. Ejercicios Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que: 1)Si a + b = 0 a + c = 0 b = c Demostración: Asociatividad.

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1 Ejercitación Cálculo I Carola Muñoz R. 1

2 Ejercicios Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que: 1)Si a + b = 0 a + c = 0 b = c Demostración: Asociatividad > b + ( a + c ) = ( b + a ) + c Conmutatividad > b + ( a + c ) = ( a + b ) + c utilizando las hipótesis dadas: Neutro aditivo > b + 0 = 0 + c b = c 2

3 Ejercicios Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que: 3) ( x ) = x Demostración: Se tiene que x + ( x ) = 0, esta ecuación dice que x es el inverso aditivo de x. x = ( x ) 3

4 Ejercicios Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que: 3)( x ) y = ( x y ) = x ( y ) Demostración: a + ( 1) a = 1 a + ( 1) a Previamente se demostrará que ( 1) a = ( a) = ( 1 + ( 1)) a > Distributividad = 0 a > Inverso aditivo a + ( a) = > Inverso aditivo 4

5 entonces: a + ( a) = a + ( 1) a a + ( a) + ( a) = a + ( 1) a + ( a) --> Inverso aditivo de ( a ) 0 + ( a) = 0 + ( 1) a ( a) = ( 1) a Teniendo en cuenta lo demostrado anteriormente se tiene que: ( x ) y = [ ( 1 ) x ] y = x [ ( 1 ) y ] --> Conmutatividad = x ( y ) = ( 1 ) x y --> Conmutatividad = ( x y ) ( x ) y = ( x y ) = x ( y ) 5

6 Ejercicios Si a 2 + b 2 = 1, c 2 + d 2 = 1, demostrar que a c + b d 1 Demostración: ( a c ) > a 2 2ac + c 2 0 ( b d ) > b 2 2bd + d 2 0 a 2 + b 2 2ac 2bd + c 2 + d ac 2bd ac 2bd 0 2 ( 1 ac bd ) 0 / 2 1 ac + bd > 6

7 Ejercicios Si a b c, a, b, c, +. Demostrar que 7

8 Ejercicios Si a b c, a, b, c, +. Demostrar que ( a c ) 2 > > a 2 + c 2 > 2ac ( a b ) 2 > > a 2 + b 2 > 2ab ( b c ) 2 > > b 2 + c 2 > 2bc a 2 + c 2 > 2ac / b a 2 + b 2 > 2ab / c b 2 + c 2 > 2bc / a > b (a 2 + c 2 ) > 2abc c (a 2 + b 2 ) > 2abc a (b 2 + c 2 ) > 2abc b (a 2 + c 2 ) + c (a 2 + b 2 ) + a (b 2 + c 2 ) > 6abc 8

9 Ejercicios Si a > b > 0, demostrar que: a > (a + b ) > > > b Demostración: a > b / + a a + a > b + a 2 a > a + b / 2 a > ( a + b ) ( a b ) 2 > 0 a 2 2ab + b 2 > 0 / + 2ab a 2 2ab + 2ab+ b 2 > 0 + 2ab a 2 + b 2 > 2ab / + 2ab a 2 + 2ab + b 2 > 2ab + 2ab / + 2ab ( a + b) 2 > 4ab / a + b > 2 / 1/2 ( a + b ) > a > b / + a a + a > b + a 2 a > a + b / (a+b) 9

10 Ejercicios Si a > b > 0, demostrar que: a > (a + b ) > > > b Demostración: ( a + b) 2 > 4ab / (ab) 2 a > ( a + b ) ( a + b ) > TRANSITIVIDAD a > (a + b ) > > > b 10

11 Ejercicios Si a, b, c, demostrar que: b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2 b 2 abc ( a + b + c ) Demostración: Como ( a b ) > a 2 + b 2 2ab Como ( b c ) > b 2 + c 2 2bc Como ( c a ) > c 2 + a 2 2ca a 2 + b 2 2ab / c 2 ( a 2 + b 2 ) c 2 2abc 2 b 2 + c 2 2bc / a 2 ( b 2 + c 2 ) a 2 2bca 2 c 2 + a 2 2ca / b 2 ( c 2 + a 2 ) b 2 2cab 2 a 2 c 2 + b 2 c 2 2abc 2 b 2 a 2 + c 2 a 2 2bca 2 c 2 b 2 + a 2 b 2 2cab 2 a 2 c 2 + b 2 c 2 + b 2 a 2 + c 2 a 2 + c 2 b 2 + a 2 b 2 2abc 2 + 2bca 2 + 2cab 2 2 a 2 c 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 2abc 2 + 2bca 2 + 2cab 2 2 (b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2 b 2 ) 2bca ( a + b + c ) b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2 b 2 abc ( a + b + c ) 11

12 Ejercicios Demuestre que : Se busca el mínimo común denominador que es el mínimo común múltiplo bc ( b + c ) + ac (a + c ) + ab ( a + b ) + 2abc Se desarrolla el denominador b 2 c + bc 2 + a 2 c + ac 2 + a 2 b + ab 2 + 2abc Se desarrolla el numerador b 2 c + bc 2 + a 2 c + ac 2 + a 2 b + ab 2 + 2abc 12


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