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Propiedad Intelectual Cpech Álgebra 2010 Clase N° 1 Conjuntos numéricos I Propiedad Intelectual Cpech.

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1 Propiedad Intelectual Cpech Álgebra 2010 Clase N° 1 Conjuntos numéricos I Propiedad Intelectual Cpech

2 APRENDIZAJES ESPERADOS Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano. Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.

3 Propiedad Intelectual Cpech 1.Números Naturales 1.1 Consecutividad numérica 1.2 Paridad e imparidad 1.3 Números primos 1.4 Múltiplos y divisores 1.5 Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor 1.6 Operatoria en los naturales 2. Números Cardinales Conjuntos Numéricos 3. Números Enteros 3.1 Operatoria en los enteros 3.2 Propiedades 3.3 Prioridad de las operaciones

4 Propiedad Intelectual Cpech 1. Números Naturales ( N ) 1.1 Consecutividad numérica Conjunto de la forma: IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito, ordenado y discreto. Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir: Sucesor Si n pertenece a IN, su sucesor será n +1.

5 Propiedad Intelectual Cpech n - 1n + 1n Naturales Consecutivos Antecesor: Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN, su antecesor será n -1 antecesorsucesor

6 Propiedad Intelectual Cpech 1.2 Paridad e imparidad Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n} Son de la forma 2n, con n en los naturales. Sucesor par:Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2. Antecesor par:Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2. 2n - 22n + 22n Antecesor parSucesor par

7 Propiedad Intelectual Cpech Se obtiene sumando 2 al número impar. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1. Números Impares {1, 3, 5, 7, 9……,2n-1} Son de la forma 2n-1, con n en los naturales. Sucesor impar: Antecesor impar: 2n - 32n + 12n -1 Antecesor imparSucesor impar Se obtiene restando 2 al número impar. Si el número es 2n-1, entonces, su antecesor es 2n-3.

8 Propiedad Intelectual Cpech 1.3 Números Primos Son aquellos números que son sólo divisibles por 1 y por sí mismos: { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…} Nota: E l 1 NO es primo. 1.4 Múltiplos y Divisores Múltiplos Se llama múltiplo de un número, a aquel que se obtiene al multiplicar dicho número por otro cualquiera. Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5.

9 Propiedad Intelectual Cpech Divisores Se llama divisor de un número a aquel que lo divide exactamente. (Cabe en él una cantidad exacta de veces) Por ejemplo: Los divisores de 24 son los números que lo dividen exactamente: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24} Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir 24 por 5 resulta 4,8.

10 Propiedad Intelectual Cpech Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común. Ejemplo: -Algunos múltiplos de 3 son: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60} -Algunos múltiplos de 6 son: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60} -Algunos múltiplos de 15 son: {15, 30, 45, 60, 75,…}

11 Propiedad Intelectual Cpech m.c.m. = =30 El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30. (Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es el menor) El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través del siguiente método: Se divide cada número por números primos hasta que en cada columna quede 1, y el producto de ellos corresponde al m.c.m.

12 Propiedad Intelectual Cpech Máximo Común Divisor El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente. Ejemplo: -Los divisores de 36 son: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} -Los divisores de 18 son: {1, 2, 3, 6, 9, 18} -Los divisores de 24 son: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

13 Propiedad Intelectual Cpech El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6. (Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el mayor) El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método: Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea. M.C.D. = 2 3 = 6

14 Propiedad Intelectual Cpech 1.6 Operaciones en IN Adición, sustracción, multiplicación y división Esta información se encuentra en tu libro en la página 18. Propiedades de la Adición: a) Clausura: b)Conmutativa:Si a y b son números naturales, entonces se cumple que: La suma de dos números naturales es siempre un natural. Por ejemplo: = a + b = b + a a + b = c, donde a y b sumandos y c suma.

15 Propiedad Intelectual Cpech c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que: a +(b+c) = (a+b) + c Ejemplo: 13 +(5+9) = (13+5) (14) =(18) = 27 Nota: En los naturales no existe neutro aditivo. Propiedades de la Multiplicación: a)Clausura:El producto de dos números naturales es siempre un natural. a b = c, donde a y b factores y c producto.

16 Propiedad Intelectual Cpech 4 (15) = (20) 3 Si a y b son números naturales, entonces se cumple que: Por ejemplo: 4 (5 3) = (4 5) 3 Por ejemplo: 345 = 534 a (b c) = (a b) c b) Conmutativa: c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que: Nota: El elemento neutro de la multiplicación es el 1. Ver más en las páginas 18 y 19 del Libro. ab = ba 170 = = 60

17 Propiedad Intelectual Cpech RECUERDA QUE: En la sustracción: a - b = c, donde a minuendo, b sustraendo y c diferencia. En la división: a : b = c, donde a dividendo, b divisor y c cuociente. Si la división NO es exacta: a : b = c, donde a dividendo, b divisor, c cuociente y d resto. d Ejemplo: 16 : 5 = : dividendo, 5: divisor, 3: cuociente y 1: resto Donde, 16 =

18 Propiedad Intelectual Cpech 2. Números Cardinales ( N 0 ) Conjunto de la forma: IN 0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito, ordenado y discreto. 2.1 Operaciones en IN 0 Adición, sustracción, multiplicación y división Si a es un número cardinal, entonces: En este conjunto se cumplen las mismas propiedades que en los naturales. La diferencia es que incluye al cero, y por tal razón posee elemento neutro aditivo. a + 0 = 0 + a = a

19 Propiedad Intelectual Cpech 3. Números Enteros (Z) Conjunto de la forma: Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, infinito, ordenado y discreto. Se puede representar como: Z = Z - U IN 0 Z = Z - U {0} U Z + Recta numérica: Z-Z- Z+Z

20 Propiedad Intelectual Cpech Paridad e imparidad Números Pares {…,- 4, - 2, 0, 2, 4,……} Son de la forma 2n, con n en los enteros. Sucesor par:Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2. Antecesor par:Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2. 2n - 22n + 22n Antecesor parSucesor par

21 Propiedad Intelectual Cpech Se obtiene sumando 2 al número impar. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1. Números Impares {- 3, - 1, 1, 3, 5, 7,...} Son de la forma 2n-1, con n en los enteros. Sucesor impar: Antecesor impar: 2n - 32n + 12n -1 Antecesor imparSucesor impar Se obtiene restando 2 al número impar. Si el número es 2n-1, entonces, su antecesor es 2n-3.

22 Propiedad Intelectual Cpech Valor absoluto: El valor absoluto de un número representa la distancia del número al origen (cero de la recta numérica). Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen. La notación es: |5| = 5 y |-5| = unidades Luego: |-20| = 20|34| = 34|-12| = 12

23 Propiedad Intelectual Cpech 3.1 Operaciones en Z Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en los enteros, debemos considerar algunas reglas con respecto a los signos: Si a y b son números enteros, entoncesse cumple que: a) Al sumar enteros de igual signo, se suman los números y el signo se mantiene. Ejemplo: = = -14

24 Propiedad Intelectual Cpech b) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre sus valores absolutos, conservando el signo del que tiene mayor valor absoluto. Ejemplo: = = +66 c) Al restar dos enteros, se debe sumar al minuendo el inverso aditivo del sustraendo. a – b = a + - b Ejemplo: 5 – 9 = = – 4 a – (-b) = a + b Ejemplo: 12 – (-8) = = 20

25 Propiedad Intelectual Cpech = +336 d) Si a y b son dos números enteros de igual signo, entonces: - El producto y el cuociente entre ellos es positivo. e) Si a y b son dos números enteros de distinto signo, entonces: - El producto y el cuociente entre ellos es negativo. Ejemplo: -28 : -7 = : -5 = = -185

26 Propiedad Intelectual Cpech 3.2 Propiedades La suma de números enteros cumple con la propiedad de Clausura, Conmutatividad y Asociatividad. Ejemplo: (-3)+ 2 = 2 + (-3) -1 = -1 La suma de números enteros tiene elemento neutro: el cero. Ejemplo: (-8)+ 0 = -8 Además, cada número entero posee inverso aditivo. Si a IZ, entonces – a IZ.

27 Propiedad Intelectual Cpech 3.3 Prioridad en las operaciones Tanto en los números naturales como en los enteros, hay operaciones que tienen prioridad sobre otras. Existe un orden para resolver ejercicios como: : = ? ¿Qué se resuelve primero? El orden para ejecutar las operaciones que involucran paréntesis y operaciones combinadas es: 1° Paréntesis 2° Potencias 4° Adiciones y sustracciones 3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha)

28 Propiedad Intelectual Cpech Resolver : : Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 14 a la 23. = – 3 = 0 – 3 = – 3

29 Propiedad Intelectual Cpech ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL. Equipo Editorial:Patricia Valdés Pablo Espinosa


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