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Calcular 3 A + B + C; 2 B – C; 2 C + A, donde 3 A + B + C = 2 B – C 2 C + A.

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2 Calcular 3 A + B + C; 2 B – C; 2 C + A, donde 3 A + B + C = 2 B – C 2 C + A

3 Si A = y B =, calcula: a) (-2 A); b) 3 (A+B); C) [(-7)+4] (B+A); d) La matriz opuesta de B. d) La matriz opuesta de B es –B =

4 Calcular el producto de A = y B =

5 Comprueba que (A·B) t = B t ·A t, donde A = y B =. Por tanto: (A·B) t = B t ·A t

6 Dadas las matrices A =, y B =, calcula A t, (A+B) t, (A B) t, A t B t

7 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones matriciales: donde: y En principio, tratamos el sistema de ecuaciones con incógnitas A y B, como si fuera un sistema escalar. Aplicamos el método de reducción: Sumamos las ecuaciones: 4·B = C + 3·D Por tanto: B = ¼ ·C + ¾ ·D Así pues: B = Por otra parte, de la segunda ecuación, A + 3B = D 3B – D = A Luego A =

8 Dada la matriz A = a)Demuestra que se verifica la igualdad A 3 + I = 0, siendo I la matriz identidad y 0 la matriz nula. b)Calcula A -1 c) Halla razonadamente A 10 Por tanto, es evidente que A 3 + I = 0 a) b) Puesto que A 3 = -I, entonces (–A 2 )A = I. Por tanto A –1 = - A 2 = c) Puesto que A 3 = – I, entonces (A 3 ) 2 = A 6 =I. Y A 9 = A 6 ·A 3 = – I. Por tanto A 10 = –A

9 ¿Es cierto en el cálculo matricial que suma por diferencia es igual a la diferencia de cuadrados? Suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados: (a + b)·(a – b) = a·a – a·b + b·a – b·b = a 2 – b 2 Esto es cierto siempre y cuando a·b = b·a, es decir, que el producto sea conmutativo. Pero sabemos que, en general, si A y B son matrices, A·B B·A. Incluso, uno de los dos productos puede no ser posible. Así pues, dicha afirmación NO es válida en el cálculo matricial.

10 Dadas las matrices A =, B =, y C =, resuelve la ecuación matricial A X + B = C. AX + B = C AX = C – B A –1 AX = A –1 (C – B) X = A –1 (C – B) Por tanto: X =

11 Para cualquier valor natural n, calcula A n, donde A= Parece obvio que A n = Por hipótesis de inducción completa, supondremos que A n = Entonces, A n+1 = A·A n =que confirma la hipótesis.

12 Calcular el rango de la matriz A = (F2 – 3F1) (F3 – 2F1) Suprimir F2 Observamos que:Por tanto r(A) = 3

13 Calcula los determinantes de las matrices A = y B = 0·7·(-5)+ 3·1·2+ (-1)·8·4- 2·7·8- (-1)·3·(-5)- 4·1·0 = = – 32 – 112 – 15 – 0 = -153 = C3 + 5C2 = [ 4·20 ]

14 Si el determinante de la matriz A = es –11, ¿cuánto valen los determinantes de las matrices B = y C = ? B = A t. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. Por tanto, det(B) = 11 Si en un determinante intercambiamos entre sí dos filas, el valor del determinante cambia de signo. Observamos que C se obtiene de realizar dos cambios de filas entre sí. Por tanto, se producirían dos cambios de signo, con lo que el valor de det(C) = 11

15 Demuestra que el valor de no depende de Desarrollando por los adjuntos de la última columna: = sen 2 + cos 2 = 1 Donde hemos hecho uso de la ecuación fundamental de la trigonometría. Como el resultado final es 1, no depende del valor de.

16 Comprueba que |A B|=|A| |B| para las matrices: A = y B = = C3 + C1 = C3 – 13·C1 13·5·(-6)+ 8·45·3+ 12·2·(-8) - 3·5· (-8) - 12·8·(-6) - 13·2·45 = = – – – 1170 = 24 Por tanto: |A·B| = 24 = 8·3 = |A|·|B|

17 Dado que = 6, calcula: a) b) c) d) puesto que ha habido dos intercambios de filas. Por cada uno, hay un cambio de signo. (filas repetidas determinante cero) 6 0 (F2 y F3 proporcionales) = 18

18 Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los adjuntos: A = B = C = D = Desarrollamos por la primera columna, porque tiene un cero = 1·[4·5 – (-7)·9] + 3·[2·9 – 4·3] = = 101 Desarrollamos por la primera columna = 1·[b·c 2 – c·b 2 ] 1·[a·c 2 – c·a 2 ] + 1·[a·b 2 – b·a 2 ] = bc 2 – b 2 c + a 2 c – ac 2 + ab 2 – a 2 b = = bc(c – b) + a 2 (c – b) – a(c 2 – b 2 ) = (c – b)(bc + a 2 – ac – ab) = (c – b)[b(c – a) – a(c – a)] = = (c – b)(c – a)(b – a) ¡SIN BUSCAR CEROS PREVIAMENTE!

19 Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los adjuntos: A = B = C = D = Desarrollamos por la tercera columna porque tiene más cerosDesarrollamos por la tercera fila -3·{(4 – 1)·[3·(-2) – 2·5]} = -3·3·(-16) = 144 ¡SIN BUSCAR CEROS PREVIAMENTE! Desarrollamos por la segunda fila porque tiene más ceros Desarrollamos por la primera columna = 4·( – 63) = – 216

20 Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los adjuntos: A = B = C = D = ¡BUSCANDO CEROS PREVIAMENTE! = F3 – 3F1 = 4·(– 4) – (–13)·9 = – = 101 = F2 – F1 F3 – F1 = (b – a)(c – a)[c + a – (b + a)] = (b – a)(c – a)(c – b)

21 Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los adjuntos: A = B = C = D = Desarrollamos por la tercera columna porque tiene más ceros -3·3·[3·(-2) – 2·5] = -3·3·(-16) = 144 ¡BUSCANDO CEROS PREVIAMENTE! Desarrollamos por la segunda fila porque tiene más ceros = 3·(8·12 – 8·21) = – 216 = C1 – C2 = C3 + C4 = F2 + F1 F3 + F1

22 Calcula los siguientes determinantes triangularizándolos previamente: a) b) c) d) = F3 F2 = F2 + (2/3)F1 = 3·5·( 2) = 30 = F3 F1 = C2 C1 = F2 – 7F1 F3 + 6F1 = F3 + (3/2)F2 = 1·( 2)· = 33

23 Calcula los siguientes determinantes triangularizándolos previamente: a) b) c) d) = F1 F2 = F2 2F1 = F3 – 2F2 F4 – F2 = F4 + F3 = 1·1·( 1)·6 = 6 = F2 + F1 = F4 2F3 = F5 F4 = 1·( 1)·1·1·2 = 2

24 Calcula las matrices adjuntas de las siguientes: A = B = C = Adj(A) = Adj(B) = Adj(C) = k 2 k 4 k 2 + 8k + 7 3k k k 2 + k k 3k 13 k 2 + 3k 6 k 2 + 2k + 5

25 Calcula: a) (A B) 1 ; b) (A 1 ) t, siendo A y B las del ejercicio anterior (A·B) 1 = B 1 ·A 1. Por tanto, calcularemos B 1 y A 1 det(A) = 1 det(B) = 1

26 Calcula el rango de las matrices siguientes: A = B = C = A tiene sólo dos filas, no proporcionales r(A) = 2 = F3 – 2F1 F4 – F1 = F3 – 2F1 F4 – F1 r(B) = 4 = 99 r(C) = 3

27 ¿Para qué valores de a y b tiene inversa la matriz A = ? Calcula A –1 = 0 a = 0 = bPor tanto, A tiene inversa si a 0, o bien, b 0

28 Calcula el determinante Se trata de un Vandermonde, por lo que el resultado pedido es: (2 – 3)·(2 – 4)·(2 – 5)·(3 – 4)·(3 – 5)·(4 – 5) = (–1)·(–2)·(–3)·(–1)·(–2)·(–1) = 12

29 Halla la matriz X que verifica que A X A = B, donde A = y B = A·X·A = B A –1 ·A·X·A = A –1 ·B X·A = A –1 ·B X·A·A –1 = A –1 ·B ·A –1 X = A –1 ·B ·A –1 |A| = 1 Por tanto X =

30 Obtener la forma general de una matriz A de orden 2 que sea antisimétrica. Calcula A 2, A 4 y A 33. Una matriz se llama antisimétrica si A = A t. Por tanto, A = (I = matriz unidad 2X2) Así pues A 4 = a 4 ·I A 32 = (A 4 ) 8 = a 32 ·I A 33 = A 32 ·A = a 32 ·I·A= a 32 ·A =

31 Halla el rango de la siguiente matriz, según los valores de los parámetros a y b: M = Si a = 2, r(M) = 2 ya que el menor Si a 2, el menor F1 – F3 Por tanto r(M) 2 En resumen:a = 2, y cualquier b,r(M) = 2 a 2. y b = 0,r(M) = 3 a = 1, y b = 1,r(M) = 2 a 2. a 1, y cualquier b,r(M) = 3

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