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TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS II Homología- Afinidad.

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1 TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS II Homología- Afinidad

2 Ejercicio. Nº 1- Hallar la figura homóloga de la figura dada conociendo el punto A y el homólogo A'.

3 1º.- Unimos el Centro de homología O con los vértices del triangulo A, B y C.

4 2º.- Unimos A y C y prolongamos hasta el eje punto 1, unimos el punto 1 con el A y obtenemos el punto C homologo del C, que se encuentra en la línea que une el centro de homología O con el punto C.

5 3º.- Se procede de igual forma con el punto B ( pudiendo elegir ente el punto A y el C), elegimos el punto A. Unimos A y B y prolongamos hasta el eje punto 2, unimos el punto 2 con el A y obtenemos el punto B homologo del B, que se encuentra en la línea que une el centro de homología O con el punto B.

6 4.- Unimos los puntos A, B y C y obtenemos la figura homologa.

7 Ejercicio. Nº 2- Determinar el vértice, la recta límite RL y el eje de una homología definida por dos pares de puntos homólogos (A-A') y (B-B') y un punto M del eje.

8 1º.- Unimos los puntos homólogos A-A y B-B y obtenemos el punto V centro de homología que es la intersección de ambas rectas.

9 2.- Unimos los puntos homólogos A-B y A-B y obtenemos el punto I-I que es un punto doble es decir un punto del eje de homología.

10 3º.- Unimos el punto M con el punto I-I y obtenemos el eje de homología.

11 Ejercicio. Nº 3 - Hallar las rectas homólogas de las rectas r, s, t dadas. Conociendo el vértice, la recta limite RL y el eje.

12 1º.- Unimos el punto 1 de la recta limite RL con el origen de homología V. Al cortarse las rectas r, s, t en el punto 1 de la recta limite RL, este resulta un punto impropio es decir su homologo se encuentra en el infinito y las rectas homologas son paralelas a la recta 1-V.

13 2º.- Por los puntos de intersección de las rectas r, s, t con el eje trazamos las paralelas a V-1, y obtenemos las rectas r, s y t homologas de las dadas.

14 Ejercicio Nº 4.-Hallar el homólogo del punto P en la homología dada.

15 1º.- Como los puntos A-A y P se encuentran en línea recta con el origen de homología O, tenemos que utilizar otro punto cualquiera B.

16 2º.- Hallamos el homólogo del punto B, unimos B con O y B con A y obtenemos el punto 1 punto doble.

17 3º.- Hallamos el homólogo del punto B punto B, unimos el punto doble 1 con el punto A que corta a la recta O-B en el punto B.

18 4º.- Unimos el punto B con el punto P y obtenemos el punto 2 punto doble.

19 5º.- Unimos B con el punto doble 2 y prolongamos hasta obtener el punto P homólogo del P.

20 Ejercicio Nº 5.-Hallar el triángulo afín del dado, conociendo el eje de afinidad e y dos puntos afines A y A.

21 1º.- Unimos los puntos A y A que resulta ser la dirección de afinidad.

22 2º.- Trazamos por los vértices paralelas a la dirección de afinidad.

23 3º.- Unimos por ejemplo el vértice C con el A y obtenemos el punto doble 1-1.

24 4º.- Unimos el punto doble 1-1 con A y prolongamos para obtener el punto C afín del C.

25 5º.- Prolongamos el lado B-C y obtenemos el punto doble 2-2.

26 6º.- Unimos el punto doble 2-2 con el C y obtenemos el punto B afín del B.

27 7º.- Unimos los puntos A, B y C y tenemos la figura afín de la dada.

28 Ejercicio Nº 6.- Hallar el punto homólogo del punto P conociendo un par de puntos homólogos A-A' y B-B' y un punto doble M-M'.

29 1º.- Unimos los pares de puntos homólogos A-A y B-B y el punto de intersección O resulta el origen de homología.

30 2º.- Prolongamos los segmentos A-B y A-B el punto de corte 1-1 resulta ser un punto del eje.

31 3º.- Unimos los puntos dobles M-M con 1-1 y obtenemos el eje de homología.

32 4º.-Unimos los puntos P y B, y nos determina el punto doble 2-2. Se une el punto P con el origen de homología O.

33 5º.-Unimos los puntos 2-2 y B, y nos determina el punto P homologo del P.

34 Ejercicio Nº 7.- En una homología definida por el vértice V, la RL y un par de puntos homólogos A-A'. Determinar el homólogo de un punto B dado y el eje.

35 1º.-Unimos el punto B con el centro de homología O.

36 2º.- Unimos el punto A y B y obtenemos el punto 1 de la recta limite RL.

37 3º.- Unimos el origen de homología V con el punto 1 y la recta homologa de la A-B será paralela a esta recta V-1 y tendrá que pasar por A.

38 4º.- Por A trazamos la paralela a V-1 que nos determina el punto doble 2-2 punto del eje.

39 5º.- Por el punto doble 2-2 trazamos una paralela a la recta limite RL y tenemos el eje, el punto B es la intersección de la recta A-2-2 con la recta V-B resulta el homologo del punto B.

40 Ejercicio Nº 8.- Hallar el segmento homólogo del AB conociendo de la homología la recta límite RL, el centro V y el eje.

41 1º.- Prolongamos el segmento A-B hasta que corte al eje en punto 2 y a la recta limite en el punto 1.

42 2º.- Unimos el centro de homología V con el punto 1.

43 3º.- Por el punto 2 trazamos una paralela a la recta V-1, que es la recta homologa de A-B.

44 4º.- Unimos el centro de homología V con los puntos A y B, y obtenemos los puntos homólogos A y B.

45 Ejercicio Nº 9.- Determinar las rectas límites de una homología definida por el vértice V, el eje y un par de rectas homólogas.

46 1º.- Por V trazamos una paralela a r que corta a r en el punto M que es un punto de la recta limite.

47 2º.- Por V trazamos una paralela a r.

48 3º.- Prolongamos la recta r y nos determina el punto N que resulta ser un punto de la recta limite RL.

49 4º.- Por los puntos M y N trazamos las rectas limites RL y RL paralelas al eje.

50 Ejercicio N 10.- Determinar las rectas límites de la homología dada por el vértice V, el eje y una par de punto homólogos A y A'.

51 1º.- Por el punto A trazamos una recta cualquiera r.

52 2º.- Por A trazamos la recta r homologa de la recta r.

53 3º.- Por el centro de homología V trazamos la paralela a la recta r que corta a la homologa r en el punto N que es un punto de la recta limite RL.

54 4º.- Por el centro de homología V trazamos la paralela a la recta r que corta a la r en el punto M que es un punto de la recta limite RL.

55 5º.- Por los puntos M y N trazamos las rectas limites RL y RL paralelas al eje.

56 Ejercicio Nº 11.- Hallar el homólogo del triángulo ABC dado.

57 1º.- Prolongamos el lado C-B que corta al eje en el punto 1 y a la recta limite RL en el punto 2.

58 2º.- Unimos el origen de homología V con el punto 2 y por el punto 1 trazamos una paralela a V-2.

59 3º.- Prolongamos V-B y V-C hasta que corten a la paralela anterior que trazamos por 1.

60 4º.- El punto A coincide con V y A. Unimos A, B y C y tenemos la figura buscada.

61 Ejercicio Nº 12.- Hallar el homólogo del punto P conociendo el vértice V y las dos rectas límites.

62 1º.- Por el punto P trazamos una recta cualquiera r que corta a RL en el punto A.

63 2º.- Por el centro de homología V trazamos una paralela a r que corta en N a la recta limite RL.

64 3º.- Unimos V con A y por N trazamos una paralela r a V-A que resulta ser la recta homologa de r.

65 4º.- Unimos V con P y obtenemos el punto P homologo del P.

66 Ejercicio Nº 13.- Hallar el punto afín del B conociendo el eje de afinidad y un par de puntos afines A y A.

67 1º.- Tomamos un punto auxiliar C que unimos con A para obtener el punto 1-1.

68 2º.- Por el punto auxiliar C trazamos una paralela a la dirección de afinidad A-A, unimos el punto 1-1 con A, para obtener el punto C.

69 3º.- Unimos el punto B con C y prolongamos hasta que corte al eje en el punto 2-2.

70 4º.- Unimos el punto 2-2 con C y obtenemos el punto B afín del B.

71 Ejercicio Nº 14.- Hallar la figura afín del triángulo A B C conociendo el eje y un punto A' afín del A.

72 1º.- Unimos el punto A con A y obtenemos la dirección de afinidad.

73 2º.- Por los puntos B y C trazamos paralelas a la dirección de afinidad A-A.

74 3º.- Prolongamos el lado A-B hasta el eje punto 1-1, y unimos este con el punto A para obtener el punto B.

75 4º.- Prolongamos el lado B-C hasta el eje punto 2-2, y unimos este con el punto B para obtener el punto C.

76 5º.- Unimos los puntos A, B y C y tenemos la figura afín de la dada.

77 Ejercicio Nº 15.- Hallar la figura afín del cuadrado ABCD dado, conociendo A.

78 1º.- Unimos los puntos A y A y tenemos la dirección de afinidad.

79 2º.- Por los puntos B, C y D, trazamos paralelas a la dirección de afinidad A-A.

80 3º.- Unimos el punto A, con el punto de corte del lado A-D con el eje de afinidad y obtenemos el punto D, punto de intersección con la recta que parte del vértice D.

81 4º.- Por D trazamos la paralela al eje de afinidad y obtenemos el punto C afín del vértice C. Como el lado D-C es paralelo al eje su afín D-C será también paralelo.

82 5º.- Unimos el punto C con la intersección del eje con el lado B-C y obtenemos el punto B afín del punto B, y tenemos la figura afín de la dada. También se podría hallar trazando paralela al eje por el punto A.

83 6º.- Unimos los puntos A, B, C y D y tenemos la figura afín de la dada.

84 Ejercicio Nº 16.- Hallar la figura afín de un triángulo ABC, sabiendo que la razón de afinidad es -1 y se trata de una afinidad ortogonal.

85 1º.- Al ser la dirección de afinidad ortogonal, será perpendicular al eje de afinidad por lo que por A, B y C trazamos perpendiculares al eje.

86 2º.- Como la razón de afinidad es -1, la distancia de un punto al eje tiene que ser igual que la de su afín al eje pero a diferente lado del mismo y además como es ortogonal en realidad resulta ser una simetría axial. Por lo que haciendo centro en los puntos de intersección de las perpendiculares trazadas por A, B y C con el eje, puntos 1, 2 y 3 trazamos un arcos de circunferencia de radios 1-A, 2-B y 3-C que nos determinan los puntos A, B y C afines de los dados.

87 3º.- Unimos los puntos A, B y C y obtenemos la figura afín de la dada.

88 Ejercicio Nº 17.- Conocidas dos figuras afines ABC y A'B'C' determinar el punto afín de un punto dado P.

89 1º.- Unimos los puntos A-B y A-B y obtenemos el punto 1 que es un punto doble es decir del eje.

90 2º.- Unimos los puntos C-B y C-B y obtenemos el punto 2 que es un punto doble es decir del eje. Por lo que si unimos los puntos 1 y 2 tenemos el eje de afinidad.

91 3º.- Por el punto P trazamos la paralela a la recta A-A que es la dirección de afinidad ( lo mismo que C-C o B-B).

92 4º.- Unimos el punto A con el P y obtenemos el punto 3.

93 3º.- Unimos el puntos 3 con A y obtenemos el punto P afín del punto P.

94 Ejercicio Nº 18.- Hallar la figura homotética del triangulo ABC conociendo en centro O y un punto homotético A' del A.

95 1º.- Unimos los puntos A y B con el centro de homotecia O (los puntos homotéticos se encuentran en línea recta con el centro de homotecia).

96 2º.- Por el punto A trazamos una paralela al lado A-B que nos determina el punto B homotético del B al cortarse con la recta B-O. Los lados homotéticos son paralelos.

97 3º.- Por el punto A trazamos una paralela al lado A-C que nos determina el punto C homotético del C al cortarse con la recta C-O.

98 4º.- Unimos los puntos A, B y C y tenemos la figura homotética de la dada.


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