Continuidad de funciones

¿Cuándo es una función continua en un punto? ¿Qué debe cumplir? Para que f(x) sea continua en x=a se deben cumplir tres cosas: Que podamos calcular f(a). Que exista (Es decir, deben existir los límites laterales y coincidir) Por último, que la función en el punto coincida con el límite. Diremos que la función es continua en el intervalo (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo. Marcas continuas. Imagen obtenida del banco de imágenes del ITE

Discontinuidades Cuando una función f(x) no es continua en un valor de la variable x=a diremos simplemente que la función es discontinua en a. Las discontinuidades no son todas iguales, existe una clasificación. Se dividen en: Evitables No evitables: De primera especie (si existen los dos límites laterales): De salto finito De salto infinito De segunda especie (si no existe alguno los dos límites laterales) Función discontinua de Wikimedia Commos

Podemos reconocer las discontinuidades por el hecho de que la gráfica de las funciones “se rompe” y también distinguir el tipo de discontinuidad que se produce.

Teoremas sobre las funciones continuas Las funciones continuas cumplen propiedades que intuitivamente parecen evidentes pero que precisan de demostración para asegurar su validez. Los matemáticos que lo consiguieron dieron con ello un paso adelante que cambió la forma de entender el Análisis Matemático. Entre los resultados que demostraron están: El teorema de la conservación del signo La propiedad de acotación local El teorema de Bolzano El teorema del valor intermedio El teorema de acotación en un intervalo cerrado El teorema de Weierstrass Bolzano y Weierstrass de Wikimedia Commons

El teorema de Bolzano Uno de los principales resultados sobre funciones continuas es: Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y sí, además, en los extremos del intervalo la función f(x) toma valores de signo opuesto (es decir, se verifica que f(a)·f(b)<0), entonces existe al menos un valor c del intervalo (a,b) para el que se cumple que f(c)=0. Es decir, si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b], y los valores en los extremos del intervalo tienen signos distintos, entonces podemos asegurar la existencia de al menos una raíz de la función en el intervalo abierto (a, b).

Teorema de Weierstrass Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces la función alcanza sus valores máximo, M, y mínimo, m, absolutos en el interior del intervalo o en alguno de sus extremos. Es decir, existen x1 y x2 del intervalo [a, b] tales que M=f(x1)≥f(x) y m=f(x2)≤f(x) para todo valor de la variable x perteneciente al intervalo [a, b]. En consecuencia el recorrido de la función es el intervalo [m, M]. En este teorema es imprescindible que el intervalo sea cerrado.