@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 5 * 3º ESO E.AP. Polinomios

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 U.D. 5.8 * 3º ESO E.AP. EXTRACCIÓN DE FACTORES

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 POLINOMIOS Y FACTORES En muchas ocasiones nos interesa que un polinomio esté factorizado, se componga de factores en lugar de sumandos. Por ejemplo el número 30 lo podemos expresar así: 30 = 12 – – – 2, a base de sumandos O también 30 = 2·3·5, o sea factorizado. De igual manera un polinomio P(x) lo podemos expresar así: P(x) = x 2 – 3.x + 2 O también P(x) = (x – 2).(x – 1) Donde x=1 y x=2 son los ceros del polinomio P(x). Al factorizar un polinomio hay que tener en cuenta: Si un polinomio es de grado n, tendrá como máximo n ceros y por tanto n factores. Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente un cero, aunque su valor n se un número entero. Si un polinomio es de grado par tendrá 0, 2, 4, … ceros reales; o ninguna o un número par de ceros.

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 EXTRACCIÓN DE FACTORES POLINOMIO SIN TÉRMINO INDEPENDIENTE Si un polinomio carece de término independiente, x=0 será un cero del polinomio y para factorizarlo se extrae x como factor común. Ejemplos P(x) = x 2 – 3.x = x· (x – 3) P(x) = 2.x 2 – 5.x = x· (2.x – 5) O también: P(x) = 2.x 2 – 5.x = 2.x· (x – 5/2) P(x) = x 3 – 5.x x = x· (x 2 – 5.x + 3) P(x) = x 3 – 4.x = x· (x 2 – 4) P(x) = 5.x 3 – 7.x = x· (5.x 2 – 7) O también: P(x) = 5.x 3 – 7.x = 5.x· (x 2 – 7/5) P(x) = x 3 – 2.x 2 = x 2. (x – 2) P(x) = 4.x 4 – x 2 = 4.x 2. (x 2 – 1/4)

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 EXTRACCIÓN DE FACTORES POLINOMIO DESARROLLO DE UN PRODUCTO NOTABLE Cuando el polinomio sea el desarrollo de un producto notable, estará factorizado al determinar el valor de “a” y “b” en las siguientes expresiones: P(x) = x a.x + a 2 Q(x) = x 2 – 2.a.x + a 2 R(x) = x 2 – a 2 Que factorizados serán: P(x) = (x + a).(x + a) = (x + a) 2 Q(x) = (x – a).(x – a) = (x – a) 2 R(x) = (x + a).(x – a) También pueden ser: S(x) = b 2.x b.a.x + a 2 V(x) = b 2.x 2 – a 2 Que factorizados serán: P(x) = (b.x + a).(b.x + a) = (b.x + a) 2 Q(x) = (b.x + a).(b.x – a) = (b.x – a) 2

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 Ejemplo 1 P(x) = 3.x x  Extraemos factor común a x P(x) = x.(3.x ) Ejemplo 2 P(x) = 4.x x 2  Extraemos factor común a x P(x) = x.(4.x x ) = x 2 (4.x ) = x 2 (2.x + 3 ) (2.x - 3 ) Ejemplo 3 P(x) = x 2 – 6.x + 9 = (x – 3) 2 = (x – 3).(x – 3) Ejemplo 4 25 – x 2 = (5 + x ). ( 5 – x )

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 Ejemplo 5 Factorizar: P(x) = x x x Extraigo factor común a x: P(x) = x·(x 2 – 4.x + 4) El segundo factor es una potencia notable: (x 2 – 4.x + 4) = (x – 2) 2 Luego queda: P(x) = x·(x – 2) 2 = x·(x – 2)·(x – 2) Ejemplo 6 Factorizar: P(x) = 4.x 4 - x 2 Extraigo factor común a x 2 P(x) = x 2 ·(4.x 2 – 1) El segundo factor es un poducto notable: (4.x 2 – 1) = (2.x + 1).(2.x – 1) Luego queda: P(x) = x 2 ·(2.x + 1)·(2.x – 1)

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 Ejemplo 7 Factorizar: P(x) = x x x – 9 Miramos si presenta valores de x que sean ceros del polinomio. P(1) = 1 – – 6 = 0  x = 1 es un cero de P(x). Dividimos P(x) entre (x – 1) por la Regla de Ruffini: Luego P(x) = (x – 1).(x x + 9) Y ya estaría factorizado P(x). Pero el cociente, C(x) = (x x + 9), es un producto notable, por lo cual quedaría: P(x) = (x – 1).(x + 3) 2 P(x) = (x – 1).(x + 3).(x + 3)