Matemáticas Aplicadas CS I DISTRIBUCIÓN NORMAL U.D. 15 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

VARIABLE CONTINUA: FUNCIÓN DE DENSIDAD U.D. 15.1 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA Ya sabemos una clasificación de las variables estadísticas en discretas y continuas, atendiendo al conjunto de valores que podían tomar. Ejemplo de variable discreta es el número de hijos de una familia, la edad de los alumnos, o el número de respuestas falladas en un test. Ejemplo de variables continuas es la estatura de las personas, los tiempos de espera de un autobús, o la duración de un tipo de pilas. Si los valores de la variable son muy numerosos y dispersos, éstos han de agruparse en intervalos a fin de obtener frecuencias apreciables. Estos intervalos se denominan clases. Ya hemos visto las distribuciones de probabilidad discreta. De ellas, la distribución binomial destaca por su importancia práctica. Ahora veremos las distribuciones de probabilidad continua. De ellas, la distribución normal va a destacar por su importancia práctica. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Ejemplo de distribución de probabilidad continua Consideremos la variable continua xi que mide la concentración (mg/l) de disolvente en 100 muestras de agua fluvial. xi fi hi [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) 25 30 15 10 5 0,25 0,30 0,15 0,10 0,05 Σ =100 Σ =1 10 20 30 40 50 60 mg/l @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Incrementando el número de muestras recogidas a 500, 1.000, 2.000, ...,1.000.000, en lugar de las 100 que tenemos; a la vez que reducimos la longitud de los intervalos de clase, (0, 1) , (0, 0’1) , (0, 0’01), … en lugar de (0, 10) que tenemos , se llega a histogramas cuyos lados superiores forman una poligonal que cada vez es menos irregular. Las frecuencias relativas de las clases se aproximarían a las probabilidades respectivas. Idealmente se llegaría a una línea poligonal superior curva­, bajo la cual el área limitada es la unidad.. La curva así obtenida nos permitirá calcular probabilidades de la variable continua Xi en cualquier entorno. Esta curva se llama FUNCIÓN DE DENSIDAD. Calcular probabilidades entre dos valores de xi será hallar el área comprendida entre la función de densidad y el eje Xi. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I FUNCIÓN DE DENSIDAD En color rojo se aprecia la línea quebrada que forman las frecuencias relativas en una distribución de variable continua o histograma. En color azul se ha superpuesto la Función de densidad en que se convierte al aumentar notablemente el número de intervalos o clases. 0 10 20 30 40 50 60 mg/l @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I a x1 x2 f (x) > 0 b Para que f(x) sea una función de densidad debe cumplir las siguientes condiciones: 1.- f(x) ≥ 0, para todo valor del intervalo [a, b] donde la variable aleatoria tiene su campo de definición. 2.- El área limitada por la curva f(x), entre los extremos a y b y el eje de abscisas, es la unidad. 3.- Las áreas determinadas por f(x) en cualquier intervalo [x1 , x2] incluido en [a, b] es la probabilidad de que la variable continua Xi esté en el intervalo [x1 , x2] @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I El área que nos interese se calculará: Utilizando el cálculo integral (2º Bachillerato). Ocasionalmente por métodos geométricos elementales. O mediante tablas ya elaboradas para este fin. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJERCICIO_1 Sea la función: f(x) = 1 / 4 , si x є [0, 4] 0 , si x є [0, 4] Comprueba que es una función de densidad. Calcula P(1,6 ≤ x ≤ 5,2) Área del rectángulo: A=b.h = 4. ¼ = 1 P(1,6 ≤ x ≤ 5,2) = (4 – 1,6). ¼ = = 2,4. ¼ = 0,6 Pi 0,25 0 1 2 3 4 1,6 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Pi 2 EJERCICIO_2 Sea la función: f(x) = 2.x , si x є [0, 1] 0 , si x є [0, 1] Comprueba que es una función de densidad. Calcula P(0,6 ≤ x ≤ 0,9) Área del rectángulo: A=b.h / 2 = 1 . 2 / 2 = 1 Área del trapecio = P P(0,6 ≤ x ≤ 0,9) = = [(1,8 + 1,2) / 2 ] .(0,9 – 0,6) = = 1,5.0,3 = 0,45 0 1 x Calculamos las ordenadas: f(1) = 2.1 = 2 f(0) = 2.0 = 0 f(0,6) = 2.0,6 = 1,2 f(0,9) = 2.0,9 = 1,8 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejercicio_3 Sea la función: f(x) = (1/3).x – 1 , si x є [3, a] 0 , si x є [3, a] Hallar el valor de a para que f(x) sea una función de densidad. Calcula P(3,1 ≤ x ≤ 4,2) Calculamos las ordenadas: f(a) = 0,33.a – 1 f(0) = 0,33.0 – 1 = – 1 f(3,1) = 0,33.3,1 – 1 = 0,033 f(4,2) = 0,33.4,2 – 1 = 0,4 Área del triángulo = 1 (a – 3).(a / 3 – 1) / 2 = 1 (a – 3)2 = 6  a – 3 = 2,45  a = 5,45 P(3,1 ≤ x ≤ 4,2) = [(0,4+0,033) / 2].(4,2 – 3,1)= 0,2383 Pi f(a) 0 3 6 x 3,1 4,3 5,45 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Calculamos las ordenadas: f(a) = 0,5.a – 3 f(0) = 0,5.0 – 3 = – 3 f(6,1) = 0,5.6,1 – 3 = 0,05 f(7,2) = 0,5.7,2 – 3 = 0,60 Ejercicio_4 Sea la función: f(x) = (1/2).x – 3 , si x є [6, a] 0 , si x є [6, a] Hallar el valor de a para que f(x) sea una función de densidad. Calcula P(6,1 ≤ x ≤ 7,2) Área del triángulo = 1 (a – 6).(a / 2 – 3) / 2 = 1 (a – 6)2 = 4  a – 6 = 2   a = 8 P=Área del trapecio. P(6,1 ≤ x ≤ 7,2) = = [(0,60+0,05) / 2].(7,2 – 6,1)= = 0,3575 Pi f(a) 6 8 9 10 x 6,1 7,2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I