@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 DISTRIBUCIÓN NORMAL U.D. 15 * 1º BCS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 DISTRIBUCIÓN NORMAL U.D. 15 * 1º BCS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL A LA NORMAL U.D. 15.6 * 1º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 LA NORMAL COMO APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL El cálculo de las probabilidades de los sucesos binomiales, B(n,p) exigen una serie de operaciones que para valores de n >13, resultan un tanto arduos al no disponer de Tablas para los valores de n tan grandes. Tales inconvenientes pueden eliminarse, pues para valores grandes de n, la distribución binomial se aproxima bien mediante una distribución normal.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 A partir de n=25 la poligonal de la binomial no se distingue de la campana de Gauss correspondiente. Esta aproximación o ajuste puede hacerse siempre que se cumpla: n.p ≥ 5 yn.q ≥ 5 obteniéndose un ajuste muy bueno si “p” está próximo a 0,5 Una vez cumplidos los requisitos anteriores, la normal que mejor se aproxima o ajusta será: N(n.p, √(n.p.q) )

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Ejemplo_1 En una distribución B(150, 0’45), calcula P (x ≥ 60). Calculamos la media y la desviación típica: N(n.p, √(n.p.q) ) μ=n.p = 150.0’45 = 67,50 σ=√(n.p.q) = √(150.0’45.0’55) = √ 37,125 = 6,0930 Miramos los productos n.p y n.q n.p = 150.0’45 = 67,5 > 5 n.q = 150.0’55 = 82,5 > 5 B(150, 0’45)  N(67’5, 6’093)  N(0,1) P(x ≥ 60) = P(x’ ≥ 59,5) = P [ z ≥ (59’5 – 67’5) / 6’0930)] = = P ( z ≥ - 1,31) = P ( z ≤ 1,31) = 0,9049..

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Ejemplo_2 El 1% de los coches fabricados por una empresa son defectuosos. En una partida de 5000 coches, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de 60 coches defectuosos?. Es una binomial B(5000, 0’01) Calculamos la media y la desviación típica: μ=n.p = 5000.0’01 = 50 σ=√(n.p.q) = √(5000.0’01.0’99) = √ 49,5 = 7,03 Miramos los productos n.p y n.q n.p = 5000.0’01 = 50 > 5 n.q = 5000.0’99 = 4950 > 5 B(5000, 0’01)  N(50, 7’03)  N(0,1) P(x ≥ 60) = P(x’ ≥ 59,5) = P [ z ≥ (59’5 – 50) / 7,03] = = P ( z ≥ 1,35) = 1 - P ( z ≤ 1,35) = 1 - 0,9115 = 0,0885

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 Ejemplo_3 En una urna hay 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 verdes. Sacamos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Si repetimos la experiencias 50 veces, ¿cuál es la probabilidad de sacar roja en más de 20 ocasiones?. Probabilidad de sacar roja: P ( R ) = 3 / (3+2+5) = 0,30 Éxito: p = 0,30, donde n = 50 veces que repetimos el experimento. Es una binomial B(50, 0’3) Podemos calcular P(X>20) por la fórmula, pero sería muy laborioso al tenerla que repetir 20 ó 30 veces, ya que no hay Tablas para n=50. Miramos si podemos ajustarla a una normal: Calculamos la media y la desviación típica: μ=n.p = 50.0’3 = 15 σ=√(n.p.q) = √(50.0’30.0’70) = √ 10,50 = 3,24 Miramos los productos n.p y n.q n.p = 50.0’30 = 15 > 5 n.q = 50.0’70 = 35 > 5 Al ser ambos mayores que 5 podemos realizar tal ajuste. B(50, 0’30)  N(15, 3,24)  N(0,1) P(x > 20) = P(x’ ≥ 20,5) = P [ z ≥ (20,5 – 15) / 3,24] = = P ( z ≥ 1,6975) = 1 - P ( z ≤ 1,70) = 1 - 0,9554 = 0,0446