Soluciones en Serie de Ecuaciones Lineales CAPÍTULO 5

Contenidos 5.1 Soluciones respecto a puntos ordinarios 5.2 Soluciones respecto a puntos singulres 5.3 Funciones Especiales

5.1 Soluciones Respecto a Puntos Ordinarios Repaso de Series de Potencias Recuerde del cálculo una serie de potencias en x – a es de la forma Se dice que es una serie de potencias centrada en a.

Convergencia Existe Intervalo de Convergencia El conjunto de números reales x para los cuales la serie converge. Radio de Convergencia Si R es el radio de convergencia, la serie de potencias converge para |x – a| < R y diverge para |x – a| > R.

Convergencia Absoluta Dentro de su intervalo de convergencia, una serie de potencias converge absolutamente. Esto es, la siguiente serie converge: Prueba de Relación Suponiendo cn  0 para todo n, y Si L < 1, esta serie converge absolutamente, si L > 1, esta serie diverge, si L = 1, el criterio no es concluyente.

Una Serie de Potencias Define una Función Suponemos entonces Propiedad de Identidad Si todo cn = 0, entonces la serie = 0.

Analítica en un Punto Una función f s analítica en un punto a, si se puede representar mediante una serie de potencias en x – a con un radio de convergencia positivo. Por ejemplo: (2)

Aritmética de Series de Potencias Las series de potencia se combinan mediante operaciones de suma, multiplicación y división.

Ejemplo 1 Escribir como una sola serie de potencias. Solución Como Se establece k = n – 2 para la primera serie y k = n + 1 para la segunda serie,

Ejemplo 1 (2) Entonces podemos obtener el lado derecho como (3) Ahora obtenemos (4)

Una Solución Suponga que la ED lineal (5) se escribe como (6) Se dice que un punto x0 es un punto ordinario de (5) si P y Q en (6) son analíticas en x0. Un punto que no es un punto ordinario es un punto singular DEFINICIÓN 5.1

Coeficientes Polinomiales Como P y Q en (6) son funciones racionales, P = a1(x)/a2(x), Q = a0(x)/a2(x) Se deduce que x = x0 es un punto ordinario de (5) si a2(x0)  0.

Si x = x0 es un punto ordinario de (5), siempre es posible hallar dos soluciones linealmente independientes en la forma de una serie de potencias centrada en x0, esto es, TEOREMA 5.1 Existencia de soluciones en series de potencias Una solución en serie converge al menos en un intervalo definido por |x – x0| < R, donde R es la distancia desde x0 hasta el punto singular más próximo.

Ejemplo 2 Resolver Solución Sabemos que no hay puntos ordinarios finitos. Ahora, y Luego de la ED se obtiene (7)

Ejemplo 2 (2) Por el resultado obtenido en (4), (8) Como (8) es idénticamente cero, es necesario que todos los coeficientes sean cero, 2c2 = 0, y (9) Ahora (9) es una relación de concurrencia, puesto que (k + 1)(k + 2)  0, entonces desde (9) (10)

Ejemplo 2 (3) Así obtenemos

Ejemplo 2 (4) y así sucesivamente.

Ejemplo 2 (5) Entonces las soluciones en series de potencias son y = c0y1 + c1y2

Ejemplo 2 (6)

Ejemplo 3 Resolver Solución Puesto que x2 + 1 = 0, x = i, −i son puntos singulares. Una solución en serie de potencias centrada en 0 convergerá al menos para |x| < 1. Usando al forma en serie de potencia de y, y’ y y”,

Ejemplo 3 (2)

Ejemplo 3 (3) De lo anterior, tenems 2c2－c0 = 0, 6c3 = 0 , y Así c2 = c0/2, ck+2 = (1 – k)ck/(k + 2) Luego

Ejemplo 3 (4) y así sucesivamente.

Ejemplo 3 (5) Por tanto,

Ejemplo 4 Si se busca una solución en serie de potencias y(x) para obtenemos c2 = c0/2 y la relación de recurrencia es Examinando la fórmula se ve que c3, c4, c5, … se expresan en términos de c1 y c2. Sin embargo es más complicado. Para simplificarlo, podemso elegir primero c0  0, c1 = 0. En este caso tenemos

Ejemplo 4 (2) y así sucesivamente. Después, elegimos c0 = 0, c1  0, entonces

Ejemplo 4 (3) y así sucesivamente. Así tenemos y = c0y1 + c1y2, donde

Ejemplo 5 Resolver Solución Vemos que x = 0 es un punto ordinario de la ecuación. Usando la serie de Maclaurin para cos x, y empleando , hallmos

Ejemplo 5 (2) Se deduce que y así sucesivamente. Se obtiene c2 =－1/2c0, c3 =－1/6c1, c4 = 1/12c0, c5 = 1/30c1,…. Agrupando términos llegamos a la solución general y = c0y1 + c1y2, donde la convergencia es |x| < , y

5.2 Soluciones Respecto a Puntos Singulares Una Definición Un punto singular x0 de una ED lineal (1) se clasifica más bien como regular o irregular. La clasificación depende de (2)

Se dice que un punto singular x0 es un punto singular regular de (1), si p(x) = (x – x0)P(x), q(x) = (x – x0)2Q(x) son analíticas en x0 . Un punto singular que no es regular es un punto singular Irregular de la ecuación. DEFINICIÓN 5.2 Puntos singulares regulares e irregulares

Coeficintes Polinomiales Si x – x0 aparece a lo sumo a la primera potencia en el denominador de P(x) y a lo sumo a la segunda potencia en el denominador de Q(x), entonces x – x0 es un punto singular regular. Si (2) se multiplica por(x – x0)2, (3) donde p, q son analíticas en x = x0

Ejemplo 1 Se debe aclarar que x = 2, x = – 2 son puntos sinulares de (x2 – 4)2y” + 3(x – 2)y’ + 5y = 0 Según (2), tenemos

Ejemplo 1 (2) Para x = 2, la potencia de (x – 2) en el denominador de P es 1, y la potencia de (x – 2) en el denominador de Q es 2. Así x = 2 es un punto singular regular. Para x = −2, la potencia de (x + 2) en el denominador de P y Q es 2. Así x = − 2 es un punto singular irregular.

Si x = x0 es un punto singular regular de (1), entonces TEOREMA 5.2 Si x = x0 es un punto singular regular de (1), entonces existe al menos una solución de la forma (4) donde el número r es una constante por determinar. La serie converge al menos en algún intervalo 0 < x – x0 < R. Teorema de Frobenius

Ejemplo 2: Método de Frobenius Debido a que x = 0 es un punto singular regular de (5) tratamos de hallar una solución. Ahora,

Ejemplo 2 (2)

Ejemplo 2 (3) Lo cual implica que r(3r – 2)c0 = 0 (k + r + 1)(3k + 3r + 1)ck+1 – ck = 0, k = 0, 1, 2, … Debido a que no se gana nada haciendo c0 = 0, r(3r – 2) = 0 (6) y (7) De (6), r = 0, 2/3, cuando se sustituye en (7),

Ejemplo 2 (4) r1 = 2/3, k = 0,1,2,… (8) r2 = 0, k = 0,1,2,… (9)

Ejemplo 2 (5) De (8) De (9)

Ejemplo 2 (6) Los dos conjuntos contienen el mismo múltiplo c0. Si se omite este término, tenemos (10) (11)

Ejemplo 2 (7) Mediante el criterio de la razón, (10) y (11) convergen para todo valor finito de x, esto es, |x| < . Asimismo, de la forma de (10) y (11), son linealmente independientes. Así la solución es y(x) = C1y1(x) + C2y2(x), 0 < x < 

Ecuación Indicial La ecuación (6) se llama ecuación indicial, donde los valores de r se llaman raíces indiciales, o exponentes. Si x = 0 es un punto singular regular de (1), entonces p = xP y q = x2Q son analíticas en x = 0.

Así los desarrollos en serie de potencia. p(x) = xP(x) = a0＋a1x＋a2x2＋… Así los desarrollos en serie de potencia p(x) = xP(x) = a0＋a1x＋a2x2＋… q(x) = x2Q(x) = b0＋b1x＋b2x2＋… (12) son válidos en intervalos que tienen un radio de convergancia positivo. Multiplicando (2) por x2, tenemos (13) Tras ciertas sustituciones, hallmaos la ecución indicial, r(r – 1) + a0r + b0 = 0 (14)

Ejemplo 3 Resolver Solución Sea , entonces

Ejemplo 3 (2) Lo cual implica r(2r – 1) = 0 (15) (16)

Ejemplo 3 (3) De (15), tenemos r1 = ½ , r2 = 0. Para r1 = ½ , dividimos entre k + 3/2 en (16) para obtener (17) Para r2 = 0 , (16) se convierte en (18)

Ejemplo 3 (4) De (17) De (18)

Ejemplo 3 (5) Así para r1 = ½ para r2 = 0 y en (0, ), la solución es y(x) = C1y1 + C2y2.

Ejemplo 4 Resolver Solución De xP = 0, x2Q = x, y el hecho de que 0 y x sean sus propias series de potencias centradas en 0, se concluye a0 = 0, b0 = 0. Luego de la forma (14) tenemos r(r – 1) = 0, r1 = 1, r2 = 0. En otras palabras, sólo hay una solución en serie

Tres casos (1) Si r1, r2 son distintas y la diferencia r1 - r2 no es un entero positivo, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (1) de la forma :

(2) Si r1 – r2 = N, donde N es un entero positivo, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (1) de la forma :

(3) Si r1 = r2, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (1) de la forma :

Determinación de una Segunda Solución Si ya conocemos una solución y1, la segunda puede obtenerse de la siguiente manera

Ejemplo 5 Hallar la solución general de Solución De la solución conocida del Ejemplo 4, podemos usar (23) para hallar y2(x). Use un CAS para operaciones complicadas.

Ejemplo 5 (2)

5.3 Funciones Especiales Ecuación de Bessel de orden v (1) donde v  0, y x = 0 es un punto singular regular de (1). Las soluciones de (1) se llaman funciones de Bessel. Lengender’s Equation de order n (2) donde n es un entero no negativo, y x = 0 es un punto ordinario de (2). Las soluciones de (2) se llaman funciones de Legendre.

La Solución de la Ecuación de Bessel Puesto que x = 0 es un punto singular regular, sabemos que existe al menos una solución de la forma . Entonces de (1), (3)

De (3) tenemos la ecuación indicial r2 – v2 = 0, r1 = v, r2 = −v De (3) tenemos la ecuación indicial r2 – v2 = 0, r1 = v, r2 = −v. Cuando r1 = v, tenemos (1 + 2v)c1 = 0 (k + 2)(k + 2+ 2v)ck+2 + ck = 0 ó (4) La elección de c1 = 0 implica c3 = c5 = c7 = … = 0, así que para k = 0, 2, 4, …., dejando que sea k + 2 = 2n, n = 1, 2, 3, …, tenemos (5)

Así (6)

Elegimos c0 como valor específico. donde (1 + v) es la función gamma Elegimos c0 como valor específico donde (1 + v) es la función gamma. Vease el Apéndice II. Hay una relación importante: (1 + ) = () Así que podemos reducir el denominador de (6):

De ahí que podemos poner (6) como

Funciones de Bessel de Primera Clase Podemos definir Jv(x) mediante (7) y (8) En otras palabras, la solución general de (1) en (0, ) es y = c1Jv(x) + c2J-v(x), v  entero (9) Fig 5.3

Fig 5.3

Ejemplo 1 Considere la ED Hallamos v = ½, y la solución general en (0, ) es

Funciones de Bessel de Segunda Clase Si v  entero, entonces (10) y la función Jv(x) son soluciones linealmente independientes de (1). Otra solución de (1) es y = c1Jv(x) + c2Yv(x). Como v  m, m un entero, (10) tiene la forma 0/0. De la regla de L’Hopital, la función y Jv(x) soluciones linealmente independientes de

De ahí que para cada valor de v, la solución general de (1) es De ahí que para cada valor de v, la solución general de (1) es (11) Yv(x) se llama función de Bessel de segunda clase de orden v. Fig 5.4 ilustra y0(x) y y1(x).

Fig 5.4

Ejemplo 2 Considere la ED Hallamos v = 3, y de (11) la solución general en (0, ) es

EDs Solubles en Términos de Funciones de Bessel Sea t = x,  > 0, en (12) entonces por la regla de la cadena,

Así, (12) pasa a ser La solución de la anterior ED es y = c1Jv(t) + c2Yv(t) Sea t = x, tenemos y = c1Jv(x) + c2Yv(x) (13)

Otra ecuación se llama ecuación de Bessel modificada de orden v, (14) Ahora dejamos que sea t = ix, entonces (14) se transforma en Las soluciones son Jv(ix) y Yv(ix). Una solución de valores reales, llamada función de Bessel modificada de primera clase de orden v se define como (15)

Análogamente a (10), la función de Bessel modificada de segunda clase de orden v  entero se define como (16) y para cualquier v = n entero, Puesto que Iv y Kv son linealmente independientes en (0, ), la solución general de (14) es (17)

Consideramos otra ED importante:. (18) La solución general de (18) es Consideramos otra ED importante: (18) La solución general de (18) es (19) Aquí no se especifican los detalles.

Ejemplo 3 Hallar la solución general de en (0, ) Solución Escribiendo la ED como recurriendo to (18) 1 – 2a = 3, b2c2 = 9, 2c – 2 = −1, a2 – p2c2 = 0 luego a = −1, c = ½ . Además tomamos b= 6, p = 2. De (19) la solución es

Ejemplo 4 Recordamos el modelo de la Sec. 3.8 Se debe comprobar que tomando se tiene

Ejemplo 4 (2) La solución de la nueva ecuación es x = c1J0(s) + c2Y0(s), Si volvemos a sustituir obtenemos la solución.

Propiedades (1) (2) (3) (4)

Ejemplo 5 Obtener la fórmula Solución De la ecuación (7) se deduce

Ejemplo 5 (2)

El resultado del ejemplo 5 puede escribirse como El resultado del ejemplo 5 puede escribirse como que es una ED lineal en Jv(x). Multiplicando ambos lados por el factor de integración x-v, se obtiene (20) Se puede demostrar que (21) Cuando y = 0, se deduce del (14) que (22)

Funciones de Bessel Esféricas Cuando el orden v es la mitad de un entero impar, esto es, 1/2, 3/2, 5/2, ….. La función de Bessel de primera clase Jv(x) puede expresarse como función de Bessel esférica : Como (1 + ) = () y (1/2) = ½, entonces

De ahí que y

La Solución de Ecuación de Legendre Como x = 0 es un punto ordinario de (2), usamos Después de sustituir y simplificar, obtenemos o en las formas siguientes:

Usando (25), para al menos |x| < 1, obtenemos

Observaciones: Si n es un entero par, la primera serie termina, mientras que y2 es una serie infinita. Si n es un entero impar, la serie y2 termina con xn.

Polinomios de Legendre Los siguientes polinomios de orden n son polinomios de Legendre: (27)

Son a su vez soluciones particulares de las EDs. (28) Fig 5.5

Fig 5.5

Propiedades (1) (2) (3) (4) (5)

Relación de Recurrencia Sin comprobación, tenemos (29) que es válida para k = 1, 2, 3, … Otra fórmula puede generar los polinomios de Legendre por diferenciación. La fórmula de Rodrigues para estos polinomios es: (30)