Ecuación diferencial de Bernoulli

Definición 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑃(𝑥) 𝑦=𝑄(𝑥) 𝑦 𝑛 ESP.MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CONTRERAS Definición Es una ecuación diferencial de primer orden no lineal de la forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑃(𝑥) 𝑦=𝑄(𝑥) 𝑦 𝑛 Donde 𝑛≠0 𝑦 𝑛≠1 , ya que si 𝑛= 0 se tiene la ecuación lineal, y si 𝑛=1 se tiene la ecuación lineal homogénea

𝑦 −𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑃 𝑥 𝑦 −𝑛 𝑦=𝑄(𝑥) 𝑦 −𝑛 𝑦 𝑛 ESP.MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CONTRERAS La solución se obtiene, llevando la ecuación diferencial a una de la forma lineal. Para ello multiplicamos la ecuación diferencial por 𝑦 −𝑛 𝑦 −𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑃 𝑥 𝑦 −𝑛 𝑦=𝑄(𝑥) 𝑦 −𝑛 𝑦 𝑛 𝑦 −𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑃 𝑥 𝑦 1−𝑛 =𝑄(𝑥) 𝑦 𝑛−𝑛 𝑦 −𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑃 𝑥 𝑦 1−𝑛 =𝑄(𝑥)

𝑆𝑒𝑎 𝑈= 𝑦 1−𝑛 con lo que 𝑑𝑈 𝑑𝑥 =(1−𝑛) 𝑦 −𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ESP.MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CONTRERAS La ecuación diferencial sigue siendo no lineal por el termino 𝒚 𝟏−𝒏 Para volverla lineal hacemos el siguiente cambio de variable 𝑆𝑒𝑎 𝑈= 𝑦 1−𝑛 con lo que 𝑑𝑈 𝑑𝑥 =(1−𝑛) 𝑦 −𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Multiplicando la ecuación diferencial 𝑦 −𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑃 𝑥 𝑦 1−𝑛 =𝑄(𝑥) por 1−𝑛 , se tiene

1−𝑛 𝑦 −𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1−𝑛 𝑃 𝑥 𝑦 1−𝑛 = 1−𝑛 𝑄(𝑥) ESP.MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CONTRERAS 1−𝑛 𝑦 −𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1−𝑛 𝑃 𝑥 𝑦 1−𝑛 = 1−𝑛 𝑄(𝑥) Reemplazando los cambios de variable, se llega 𝑑𝑈 𝑑𝑥 +(1−𝑛)𝑃 𝑥 𝑈=(1−𝑛)𝑄(𝑥) La cual corresponde a una ecuación diferencial lineal de primer orden en las variables U , x . Siendo la ecuación diferencial que resolvemos

ejemplo 𝒅𝒚 𝒅𝒙 +𝒚=𝒙 𝒚 𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 +𝑷(𝒙)𝒚=𝑸(𝒙) 𝒚 𝒏 ESP.MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CONTRERAS ejemplo Resolver la ecuación diferencial 𝒅𝒚 𝒅𝒙 +𝒚=𝒙 𝒚 𝟑 Comparándole con la ecuación diferencial de Bernoulli 𝒅𝒚 𝒅𝒙 +𝑷(𝒙)𝒚=𝑸(𝒙) 𝒚 𝒏 Con el cambio de variable 𝑼= 𝒚 𝟏−𝒏 = 𝒚 𝟏−𝟑 = 𝒚 −𝟐 , se tiene la ecuación lineal

𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 −2𝑥 𝑒 − 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 2𝑥 𝑃 𝑥 =−2 , 𝑄 𝑥 =−2𝑥 ESP.MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CONTRERAS 𝑑𝑈 𝑑𝑥 −2𝑦 =−2𝑥 La cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden 𝑃 𝑥 =−2 , 𝑄 𝑥 =−2𝑥 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = −2𝑑𝑥 = −2𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 −2𝑥 𝑒 − 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 2𝑥

𝑈= 𝑒 − 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝐶+ 𝑄 𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑦 −2 = 𝑒 −2𝑥 𝐶 −2 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 ESP.MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CONTRERAS 𝑈= 𝑒 − 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝐶+ 𝑄 𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Con lo que 𝑦 −2 = 𝑒 −2𝑥 𝐶 −2 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 𝑦 −2 = 𝑒 −2𝑥 𝐶 −2 𝑥𝑒 2𝑥 2 − 𝑒 2𝑥 4 𝑦 −2 =𝐶 𝑒 −2𝑥 −𝑥+ 1 2 𝑦= 2 𝐶 𝑒 −2𝑥 −2𝑥+1

ejemplo 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 2𝑥 = 𝑥 𝑦 3 ; 𝑦 1 =2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 2𝑥 𝑦=𝑥 𝑦 −3 ESP.MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CONTRERAS ejemplo Resolver la ecuación diferencial 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 2𝑥 = 𝑥 𝑦 3 ; 𝑦 1 =2 Rescribiéndola 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 2𝑥 𝑦=𝑥 𝑦 −3 Cambio de variable 𝑼= 𝒚 𝟏−𝒏 = 𝒚 𝟏−(−𝟑) = 𝒚 𝟒 , se tiene la ecuación lineal

𝑑𝑈 𝑑𝑥 + 4 2𝑥 𝑈=4𝑥 𝑑𝑈 𝑑𝑥 + 2 𝑥 𝑈=4𝑥 𝑃 𝑥 = 2 𝑥 ; 𝑄 𝑥 =4𝑥 ESP.MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CONTRERAS 𝑑𝑈 𝑑𝑥 + 4 2𝑥 𝑈=4𝑥 𝑑𝑈 𝑑𝑥 + 2 𝑥 𝑈=4𝑥 𝑃 𝑥 = 2 𝑥 ; 𝑄 𝑥 =4𝑥 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =2 𝑑𝑥 𝑥 =2𝐿𝑛 𝑥 =𝐿𝑛 𝑥 2 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝐿𝑛 𝑥 2 = 𝑥 2 𝑒 − 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 −𝐿𝑛 𝑥 2 = 𝑥 −2

𝑈= 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝐶+ 𝑄 𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 U= 𝑥 −2 ( 𝐶+ 4𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 ) ESP.MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CONTRERAS 𝑈= 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝐶+ 𝑄 𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 U= 𝑥 −2 ( 𝐶+ 4𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 ) 𝑦 4 = 𝑥 −2 ( 𝐶+ 𝑥 4 ) De las condiciones iniciales 𝑦(1) = 2 , se tiene 𝑥= 1 , 𝑦 = 2 2 4 = 1 −2 ( 𝐶+ 1 4 ) 𝒚 𝟒 = 𝒙 −𝟐 ( 𝟏𝟓+ 𝒙 𝟒 )

𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 +𝒚 = 𝒙𝒚 𝟑 𝟐 ; 𝒚 𝟏 =𝟒 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 +𝒚 = 𝟏 𝒚 𝟐 ESP.MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CONTRERAS Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 +𝒚 = 𝒙𝒚 𝟑 𝟐 ; 𝒚 𝟏 =𝟒 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 +𝒚 = 𝟏 𝒚 𝟐 𝟒 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =𝟐𝒙𝒚 𝒚 𝟒 −𝟏 ; 𝒚 𝟏 =𝟐 𝒙 𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 −𝟐𝒙𝒚 =𝟑 𝒚 𝟐 ; 𝒚 𝟏 = 𝟏 𝟐

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