Técnicas de conteo: Permutaciones y variaciones IIIº Medio 2015

Objetivo Comprender los principios multiplicativo y aditivo, así como los conceptos de combinación y permutación. Caracterizar situaciones de probabilidad utilizando permutaciones y variaciones, valorando la flexibilidad y creatividad en la búsqueda de soluciones.

Recordemos Principio aditivo: Si un procedimiento puede realizarse de n1 maneras diferentes y un segundo procedimiento puede realizarse de n2 maneras diferentes y ambos procedimientos no pueden ocurrir de manera simultanea (mutuamente excluyentes). Entonces el número de maneras de realizar ambos procedimientos es: n1 + n2

Recordemos Principio multiplicativo: Si un procedimiento puede realizarse de n1 maneras diferentes y un segundo procedimiento puede realizarse de n2 maneras diferentes y ambos procedimientos no pueden ocurrir de manera simultanea (mutuamente excluyentes). El número de maneras que se puede realizar el primer procedimiento seguido del segundo es: n1 ● n2

Veamos unos ejemplos 1. Juan no sabe si estudiar mecánica o gastronomía, si estudia mecánica puede matricularse en 3 institutos (A, B ó C), si estudia gastronomía puede hacerlo en 2 institutos (C ó D). ¿De cuántas maneras puede decidir donde estudiar? Como son mutuamente excluyentes Podemos utilizar el principio aditivo: 3 + 2 = 5 Puede escoger de 5 maneras diferentes

¿Cuántos números de 3 cifras hay? ¿Cuántos de estos números tienen sus tres cifras diferentes? ¿Cuántos de estos números tienen sus 3 cifras iguales? 9 10  = 900 9 8  = 648 9 1  = 1

No pueden tener cifras repetidas ¿Cuántos números de 3 cifras pueden construirse usando los dígitos 4, 5, 6, 7 si: No pueden tener cifras repetidas Si pueden repetirse las cifras 4 3 2  = 24 4  = 64

¿De cuántas maneras pueden formarse en fila 10 niños? 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1 = 3.628.800 Esta multiplicación se puede abreviar de la siguiente manera 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1 = 10! A esta notación se le llama FACTORIAL

Factorial Esta notación se utiliza para nombrar a la multiplicación de números consecutivos desde 1 hasta n, es decir: n! = n  (n – 1)  (n – 2)  (n – 3)  …  2  1 Y se define 0! = 1

Sigamos con los ejercicios 7. En un bus quedan 3 asientos desocupados y se suben 5 personas, ¿de cuántas maneras diferentes pueden ocuparse los asientos? 5 ● 4 ● 3 = 60 8. En un bus quedan r asientos desocupados y se suben n personas (n ≥ r), ¿de cuántas maneras pueden ocuparse los asientos? n ● (n – 1) ● (n – 2) ● … ● (n – (r – 1)) ● (n – r)

¿Como podríamos reescribir esto? n ● (n – 1) ● (n – 2) ● … ● (n – (r – 1)) ● (n – r) ¿Cómo podemos utilizar el concepto de factorial? VARIACIÓN

Permutaciones y Variaciones Se llama permutación al total de maneras de ordenar en forma lineal “n” objetos diferentes. Pn = n! Se llama variación al total de maneras de seleccionar y luego ordenar “r” objetos de un total de “n” objetos diferentes nVr ó Orden Lineal

Ejercicios ¿De cuántas maneras puedo ordenar a 10 niños si el más bajo debe ir en primer lugar? ¿Y si el más alto va primero y el más bajo último? ¿Y si el más alto y el más bajo deben quedar juntos? ¿Y si el más alto y el más bajo deben quedar separados? ¿Y si el más alto y el más bajo deben quedar separados por un asiento? Respuestas: 9! ; 8! ; 29! ; 10! - 29! ; 288!

Tengo una enciclopedia de 5 tomos, las obras completas de Pablo Neruda en 3 tomos y un trabajo de Álgebra en 2 tomos. ¿De cuántas maneras pueden ponerse en una repisa? ¿Y si los libros de un mismo tipo deben quedar juntos? ¿Y si solo los tomos de la enciclopedia deben quedar juntos? ¿Y si no deben quedar dos de historia juntos? Respuestas: 10! ; 5!3!2!3! ; 6!5! ; 5!5!2