Matemáticas Discretas

Presentación del tema: "Matemáticas Discretas"— Transcripción de la presentación:

1 Matemáticas Discretas
(Mini) Cursos Propedéuticos 2012 Ciencias Computacionales INAOE Dr. Hugo Jair Escalante Oficina 8319 Este material se basa en versiones previas del mismo por: Dr. Enrique Muñoz de Cote Dr. Enrique Sucar Dr. Luis Villaseñor

2 SEGUNDA PARTE Conteo Introducción Reglas de la suma y el producto
Permutaciones Combinaciones Generación de permutaciones Teorema del Binomio

3 Introducción Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Ejemplo : ¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?. Se les denomina técnicas de conteo a las: combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo.

4 Introducción En ocasiones, interesa saber cuántas diferentes permutaciones/combinaciones de elementos se pueden generar a partir de cierto conjunto, por ejemplo: Cuántos comités diferentes de 3 personas puede haber a partir de un grupo de 10 individuos? De cuántas diferentes maneras pueden repartirse 5 cartas a partir de 52 cartas (poker)?

5 Introducción En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el calculo señalado. En esta sesión veremos la teoría matemática que nos permite hacer éstos cálculos, así como algunos ejemplos de aplicación

6 Experimento Un proceso físico que tiene un número de posibles resultados Ejemplos: Tirar una moneda y observar que cara queda arriba Tirar n monedas y observar las caras que quedan arriba en cada moneda Sacar m pelotas de una caja con n pelotas Seleccionar 3 miembros para un comité de un grupo de n personas De n personas que fuman, observar cuántas tienen cáncer

7 Principio de adición Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos, entonces el evento A o el evento B se puede realizar de (m + n) maneras.

8 Ejemplo : Un repuesto de automóvil se venden en 6 tiendas en Morelia o en 8 tiendas de Cuernavaca. ¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto? Solución : Por el principio de adición: Morelia ó Cuernavaca 6 formas + 8 formas = 14 formas

9 Principio de adición Si hacemos 2 experimentos, uno con n posibles resultados, y otro con m posibles resultados, el número total de resultados al realizar exactamente uno de los experimentos es m + n Ejemplos: A partir de 10 senadores y 10 diputados se va a hacer un comité con 3 miembros, todos ellos diputados o senadores, de cuántas formas se puede conformar el comité?

10 Principio De Multiplicación
Si un evento o suceso A puede ocurrir, en forma independiente, de m maneras diferentes y otro suceso B de n maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es m x n

11 Ejemplo : En la etapa final de fútbol profesional de primera, cuatro equipos : CRISTAL ( C ), BOYS ( B) ,ESTUDIANTES ( E ), UNIVERSITARIO (U), disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón). ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares? Solución : Utilizando el principio de multiplicación   1º º 4 x 3 # maneras = 12 EXPLICACIÓN: 1o El primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los cuatro equipos. 2o El segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los otros tres equipos que restan 3o Por el principio de multiplicación, se observa que el evento del primer lugar se presenta de 4 maneras y el del segundo lugar de 3 maneras distintas, entonces el número de maneras totales será : 4x3 = 12

12 Principio De Multiplicación
Si hacemos 2 experimentos, uno con n posibles resultados, y otro con m posibles resultados, el número total de resultados al realizar ambos experimentos es m x n Ejemplos: A partir de 10 senadores y 10 diputados se va a hacer un comité con 3 senadores y 4 diputados, de cuántas maneras diferentes se puede conformar dicho comité

13 Principio de adición ó multiplicación?
¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo? Cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

14 Ejercicio: Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados?

15 Solución: Bote Lancha Deslizador 3 o 2 o 1 # maneras = 3 + 2 + 1 = 6
Utilizando el Principio de adición Solución: Bote Lancha Deslizador o o # maneras = = 6 RECUERDA: Si se desea que se realicen los eventos A y B , entonces se utiliza el principio de multiplicación (x) Si se desea que se realicen los eventos A ó B , entonces se utiliza el principio de adición (+)

16 Ejercicio: ¿Cuántas placas para automóviles pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? (considerar 26 letras del alfabeto)

17 Solución : letras Dígitos 26 x 25 x 10 x 9 x 8 # placas = 468 000
Utilizando el principio de multiplicación Solución : letras Dígitos   26 x 25 x 10 x 9 x 8 # placas = EXPLICACIÓN: 1oEl primer casillero puede ser ocupado por cualquiera de las 26 letras 2oEl segundo casillero puede ser ocupado por cualquiera de las 25 letras que restan 3oEl tercer casillero puede ser ocupado por cualquiera de los 10 dígitos ( del 0 al 9) 4oEl cuarto casillero lo pueden ocupar los 9 dígitos restantes 5oEl quinto casiller puede ser ocupado por cualquiera de los 8 dígitos restantes 6oPor el principio de multiplicación, el número de placas será = 26x25x10x9x8 =

18 Permutaciones Permutación: disposición lineal de objetos.
Ejemplo: en un grupo de 10 estudiantes se escogerá a 5 para tomar una foto y se les sentará en una fila. ¿Cuántas disposiciones son posibles? ¿Cuántas disposiciones son posibles si todos los estudiantes participan en la foto?

19 Permutaciones Dados n objetos, queremos obtener las diferentes formas de ordenar r de éstos objetos Por ejemplo, dada las letras a,b,c, de cuántas formas podemos arreglar 2 de ellas: ab, ba, ac, ca, bc, cb Esto se conoce como las permutaciones de r en n, P(n, r)

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21 Permutaciones

22 Permutaciones El número de permutaciones se obtiene de la siguiente manera: P(n,r) = n! / (n-r)! Donde n! es el factorial de n, definido como: n! = n (n-1) (n-2) …. x 2 x 1 (Por definición: 0! = 1)

23 Ejemplos: De cuántas maneras se pueden colocar 3 pelotas diferentes (azul, verde, rojas) en 10 cajas, si en cada caja sólo cabe una pelota? Si hay 7 oficinas, y queremos asignarle una oficina a cada uno de 4 estudiantes, de cuántas formas se pueden asignar las oficinas? Cuántos números de 3 dígitos se pueden escribir de forma que no se repitan dígitos?

24 Permutaciones – Generalización
Ahora consideramos que tenemos t clases de objetos, de forma que los de una clase son indistinguibles entre sí Cómo podemos ordenar n objetos, con q1 del tipo 1, q2 del tipo 2, …, qt del tipo t? Por ejemplo, 3 letras, 2 a’s y 1 b: aab, aba, baa

25 Permutaciones – Generalización
Esto lo podemos calcular de la siguiente manera: n! / (q1! q2! … qt!) Ejemplos: Para el código morse (puntos y rayas), cuántos mensajes se pueden hacer con dos puntos y tres rayas? Hay 10 oficinas, 2 las va a explorar el robot 1, 5 el robot 2, y 3 el robot 3, de cuántas formas diferentes se pueden organizar los robots para explorar las oficinas?

26 Combinaciones Dado que tenemos n objetos, de cuántas formas podemos seleccionar r de éstos (sin importar el orden)? Por ejemplo, tenemos 3 pelotas, una roja, una verde y otra azul, de cuántas formas se pueden sacar 2 pelotas: (roja, verde), (roja, azul), (verde azul)

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29 Combinaciones Esto son las combinaciones r de n, o C(n, r), y se obtienen con la siguiente expresión: C(n,r) = n! / r! (n-r)! Ejemplos: De cuántas formas se pueden colocar 3 pelotas (iguales) en 10 cajas, cada caja puede tener máximo una pelota? Cuántos números binarios de 5 dígitos con 3 unos se pueden tener? Cuántos comités distintos de 3 personas podría haber en este grupo de 60 estudiantes?

30 (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2
Teorema del Binomio Binomio al cuadrado: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cubo: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 En general: (a + b)n = ?

31 Teorema de Binomio En general, cada término surge de elegir a en n-k factores y b en k factores Por ejemplo, para el binomio al cubo: aba, aab, baa  3a2b C(3,1) a2b = 3a2b En general, cada término tiene como coeficiente C(n, k)

32 Teorema de Binomio Así, un binomio a la n se puede escribir como:
(a + b)n = C(n,0) anb0 + C(n,1) an-1b1 + … + C(n,n) a0bn Teorema del binomio: (a + b)n = Sk C(n,k) an-kbk

33 Triángulo de Pascal Una forma de obtener los coeficientes es mediante el triángulo de Pascal El triángulo tiene 1’s en las orillas, y todos los números interiores son la suma de los dos números de arriba

34 Triángulo de Pascal 1 1 1

35 Ejercicios Cuántos comités diferentes de 3 personas puede haber a partir de un grupo de 10 individuos? De cuántas diferentes maneras pueden repartirse 5 cartas a partir de 52 cartas (poker)?

36 Ejercicios Cuántos comités de 3 estudiantes se pueden generar en el grupo (40 h, 20 m) si en el comité debe haber al menos un hombre y una mujer? Dados 10 problemas, cuántos exámenes diferentes se pueden generar: (a) no importa el orden de los problemas, (b) si importa el orden

37 Ejercicios Un paciente tiene 0, una o dos de 5 posibles enfermedades; y al menos un síntoma de 10 posibles síntomas. ¿Cuántas posibles combinaciones de enfermedades-síntomas puede tener? Un robot puede observar de 1 a 3 marcas en un mapa con 50 marcas en cierto momento, cuántas posibles combinaciones de marcas puede observar

38 Ejercicios Da los coeficientes de expandir el binomio (a+b)5

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41 Generación de permutaciones
Cómo generar todas las posibles permutaciones de n objetos? Si son pocos, lo podemos hacer “a mano”: abc acb bac bca cab cba

42 Generación de permutaciones
Si son muchos, ya no es tan fácil! Para ello requerimos de un algoritmo para generar las permutaciones El algoritmo se basa en asignarle un número consecutivo a cada objeto (1,2, …), de forma que las permutaciones sigan un orden, llamado orden lexicográfico

43 Orden lexicográfico En el ejemplo, si hacemos a=1, b=2, c=3, entonces:
acb 132 bac 213 bca 231 cab 312 cba 321 Están ordenadas lexicográficamente

44 Algoritmo Iniciar con la secuencia “menor” de acuerdo al orden (1,2,…, n) Dada la secuencia a [a1,a2,…am, …an], generar la siguiente secuencia b [b1,b2, …bm, …bn] tal que: De izquierda a derecha, ai=bi, hasta el máximo posible valor m Sustituir el valor bm, por el valor más pequeño aj, j>m, que sea mayor a bm Ordenar los demás elementos de acuerdo al orden lexicográfico Repetir 2 hasta alcanzar la secuencia “mayor” (n, n-1, …, 1)

45 Ejemplo Dado el elemento: El valor m=3
124653 El valor m=3 124… Por lo que el elemento 4 se sustituye por el 5 (el menor de 635 que es mayor a 4): 125… Agregando el resto de los elementos: 125346