Apuntes de Matemáticas 2º ESO Tema 2.6 DIVISIÓN FACTORIAL @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO
Apuntes de Matemáticas 2º ESO División factorial La aplicación más importante de la factorización de números es la división factorial, o sea dividir un número entre otro sin necesidad de multiplicar ni dividir. Ejemplo 1: 12.18 (22.3).(2.32) --------- = ----------------- = 24 (23.3) 22+1 . 31+2 23 . 33 ----------------- = -------- = 23-3 . 33-1 = 2 0 . 32 = 1 . 32 = 32 23 . 3 23.3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO
Apuntes de Matemáticas 2º ESO División factorial Ejemplo 2: 12.18.36 (22.3).(2.32).(22.32) ------------- = ----------------------------- = 24.8 (23.3).(23) 22+1+2 . 31+2+2 25 . 35 = ------------------- = ----------- = 23+3 . 3 26 . 3 = 25-6 . 35-1 = = 2 -1 . 3 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO
Apuntes de Matemáticas 2º ESO División factorial Ejemplo 3: 123.183.364 (22.3)3.(2.32)3.(22.32)4 ------------- = ---------------------------------- = 242.83 (23.3)2.(23)3 26 . 33 . 23 . 36 . 28. 38 217 . 317 = ------------------------------ = ----------- = 26 . 32 . 29 215 . 32 = 217-15 . 3 17-2 = 22 . 3 15 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO
Apuntes de Matemáticas 2º ESO División factorial Ejemplo 4: (123.183)2.363 [(22.3)3.(2.32)3]2.(22.32)3 ------------------- = ---------------------------------- = (242.83)2 [(23.3)2.(23)3]2 [26 . 33 . 23 . 36 ]2 .26. 36 212 . 36 . 26 . 312 .26. 36 = ------------------------------ = ----------------------------- = [26 . 32 . 29]2 212 . 34 . 218 = 212 + 6 + 6 -12 - 18 . 3 6 + 12 + 6 - 4 = 2 - 6 . 3 20 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO
Ampliación importante El proceso seguido en la división factorial se aplica también cuando el exponente de la potencia sea un número entero. En ese caso el exponente puede ser negativo. 2 -3.3 4 ------------- = 2 – 3 – ( - 7). 34 – ( - 5) = 2 - 3 + 7.3 4+5 = 2 4 . 3 9 2-7.3-5 Asimismo se aplica cuando el exponente sea un número racional ( fraccionario ). 2 3/2. 32 ------------- = 2 3/2 – 2. 32 – 5/3 = 2 – 1/2. 3 1/3 2 2.3 5/3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO
RAÍZ CUADRADA DE UN PRODUCTO La raíz cuadrada de un producto de números es igual al producto de las raíces cuadradas de cada uno de los factores: √(axb) =√a x √b Ejemplos √4x25 =√4 x √25 Comprobación: √100 =√4 x √25 10 = 2 x 5 √36x49 =√36 x √49 Comprobación: √100 =√36 x √49 42 = 6 x 7 √9x4 =√9 x √4 Comprobación: √36 =√9 x √4 6 = 3 x 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO
RAÍZ CUADRADA DE UN COCIENTE La raíz cuadrada de un cociente de números es igual al cociente de las raíces cuadradas de cada uno de los números: √(a/b) =√a / √b Ejemplos √36 / 4 =√36 / √4 Comprobación: √9 =√36 / √4 3 = 6 / 2 √100 / 25 =√100 / √25 Comprobación: √4 =√100 / √25 2 = 10 / 5 √ 1 / 9 =√1 / √9 Comprobación: √1 / 9 =√1 / √9 1 / 3 = 1 / 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO
RAÍZ CUADRADA DE UNA POTENCIA DE EXPONENTE PAR La raíz cuadrada de una potencia de exponente par es igual a otra potencia que tiene la misma base y exponente igual a la mitad del exponente de la potencia de partida: √ab = ab/2 Ejemplos √34 = 34/2 = 32 √26 = 26/2 = 23 √710 = 710/2 = 75 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO
OPERACIONES CON RADICALES EXTRACCIÓN DE FACTORES Siempre que se pueda es muy conveniente extraer factores de un radical. Para ello se factoriza el radicando y se buscan potencias con el mismo índice de la raíz. Ejemplo 1: 2 2 √ 108 = √ 2 . 3 . 3 = 2. 3 . √ 3 Ejemplo 2: 10 2 2 2 2 2 5 √ 1024 = √ 2 = √ 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2.2.2.2.2 √ 1 = 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO
Apuntes de Matemáticas 2º ESO Ejemplo 3: √ 32 = √ 25 = 22 √ 2 Ejemplo 4: √ 8 / 27 = √ 23 / 33 = √ 2.22 / 3.32 = 2 / 3 √ 2 / 3 El 2 sale fuera de la raíz, pero como estaba multiplicando sale multiplicando. El 3 sale fuera de la raíz, pero como estaba dividiendo sale dividiendo. Ejemplo 5: √ 32 / 81 = √ 25 / 34 = √ 2.22.22 / 32.32 = ( 22 / 32 ). √ 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO