ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Esp. Maestrante. Daniel Sáenz C

DIFERENCIAL TOTAL Sea 𝑓 𝑥 , 𝑦 =𝑧 una función continua para la cual existen sus derivadas parciales, la expresión 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑥 𝑑𝑥+ 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑦 𝑑𝑦=𝑑𝑧 𝑓 𝑥 𝑥,𝑦 𝑑𝑥+ 𝑓 𝑦 𝑥,𝑦 𝑑𝑦=𝑑𝑧 Se denomina la diferencial total ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

Ejemplo 1. Encuentre la diferencial total de 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥 3 𝑦 4 +4𝑥𝑦 Buscamos las derivadas parciales 𝑓 𝑥 𝑥,𝑦 =3 𝑥 2 𝑦 4 +4𝑦 𝑓 𝑦 𝑥,𝑦 =4 𝑥 3 𝑦 3 +4𝑥 Como la diferencial total es 𝑓 𝑥 𝑥,𝑦 𝑑𝑥+ 𝑓 𝑦 𝑥,𝑦 𝑑𝑦=𝑑𝑧 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

Ejemplo 1. Reemplazando se tiene 3 𝑥 2 𝑦 4 +4𝑦 𝑑𝑥+ 4 𝑥 3 𝑦 3 +4𝑥 𝑑𝑦=𝑑𝑧 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

Ejemplo 2. Encuentre la diferencial total de 𝑓 𝑥,𝑦 = 4𝑥 2 𝑦 2 + 𝑒 𝑥𝑦 +3 𝑥 2 𝑦 Buscamos las derivadas parciales 𝑓 𝑥 𝑥,𝑦 =8𝑥 𝑦 2 +𝑦 𝑒 𝑥𝑦 +6𝑥𝑦 𝑓 𝑦 𝑥,𝑦 =8 𝑥 2 𝑦+𝑥 𝑒 𝑥𝑦 +3 𝑥 2 Remplazando en la diferencial total 𝟖𝒙 𝒚 𝟐 +𝒚 𝒆 𝒙𝒚 +𝟔𝒙𝒚 𝒅𝒙+ 𝟖 𝒙 𝟐 𝒚+𝒙 𝒆 𝒙𝒚 +𝟑 𝒙 𝟐 𝒅𝒚=𝒅𝒛 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

Ejemplo 3. Encuentre la diferencial total de a) 𝑓 𝑥,𝑦 =𝑥 𝑦 4 +𝐶𝑜𝑠(𝑥𝑦) 𝑏) 𝑓 𝑥,𝑦 =3𝑥𝑦+ 𝑒 2𝑥𝑦 +𝐿𝑛( 𝑥 3 + 𝑦 2 ) ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

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Si la función es constante, 𝒇 𝒙,𝒚 = 𝑪 ,la diferencial total es igual a cero 𝒇 𝒙 𝒙,𝒚 𝑑𝑥+ 𝒇 𝒚 𝒙,𝒚 𝑑𝑦=0 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

Definición Una ecuación diferencial de la forma 𝑴 𝒙 , 𝒚 𝑑𝑥+𝑵 𝒙,𝒚 𝑑𝑦=0 Se denomina EXACTA , si es la diferencial total de una función constante. Es decir si 𝑴 𝒙 , 𝒚 = 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑥 , 𝑵 𝒙,𝒚 = 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑦 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

Criterio para verificar si una E.D es EXACTA Por el teorema de las segundas derivadas parciales tenemos que las derivadas cruzadas son iguales, es decir  2 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑥𝑦 =  2 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑦𝑥 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

Como 𝑴 𝒙 , 𝒚 = 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑥 , 𝑵 𝒙,𝒚 = 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑦 Entonces  2 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑦𝑥 = 𝑴(𝒙,𝒚) 𝒚  2 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑥𝑦 = 𝑵(𝒙,𝒚) 𝒙 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

Con lo que se tiene 𝑴(𝒙,𝒚) 𝒚 = 𝑵(𝒙,𝒚) 𝒙 𝑴 𝒚 = 𝑵 𝒙 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

Ejemplo Verificar si la ecuación diferencial dada es exacta. 2𝑥𝑦+2𝑥 𝑑𝑥+ 𝑥 2 +2𝑦 𝑑𝑦=0 𝑴(𝒙,𝒚) 𝑵(𝒙,𝒚) 𝑴 𝒚 =𝟐𝒙 𝑵 𝒙 =𝟐𝒙 𝑴 𝒚 = 𝑵 𝒙 𝑬.𝑫. 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

Ejemplo Verificar si la ecuación diferencial dada es exacta. 4𝑥𝑦+2 𝑦 2 𝑑𝑥+ 2𝑥 2 +2𝑥𝑦 𝑑𝑦=0 𝑴(𝒙,𝒚) 𝑵(𝒙,𝒚) 𝑴 𝒚 =𝟒𝒙+𝟒𝒚 𝑵 𝒙 =𝟒𝒙+𝟐𝒚 𝑴 𝒚 ≠ 𝑵 𝒙 𝑬.𝑫. 𝑵𝑶 𝑬𝑺 𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

ACTIVIDAD Diga cuales de las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL EXACTA Sea la ecuación diferencial EXACTA 𝑀 𝑥 , 𝑦 𝑑𝑥+𝑁 𝑥,𝑦 𝑑𝑦=0 Para encontrar la solución, se tienen en cuenta lo siguiente. 1. Hacemos 𝑓 𝑥 =𝑀(𝑥,𝑦) ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

2. Integramos con respecto a x, tomando la constante de integración como una función de y (g(y) ) 𝑑𝑓 = 𝑀 𝑥,𝑦 𝑑𝑥 +𝑔(𝑦) 𝑓(𝑥,𝑦)= 𝑀 𝑥,𝑦 𝑑𝑥 +𝑔(𝑦) ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

3. El resultado de la integral lo derivamos con respecto a y, e igualamos a la función 𝑁(𝑥,𝑦)  𝑦 𝑀 𝑥,𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 / 𝑦 =𝑁(𝑥,𝑦) 4. Simplificamos e integramos con respecto a y, para determinar la función 𝑔(𝑦). 5. Hacemos la función 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝐶 , y reemplazamos la función 𝑔(𝑦) en el resultado de la primer integral, para obtener la solución 𝐶= 𝑀 𝑥,𝑦 𝑑𝑥 +𝑔(𝑦) ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

Ejemplo Solucionar la ecuación diferencial exacta 3 𝑥 2 𝑦 4 +4𝑦 𝑑𝑥+ 4 𝑥 3 𝑦 3 +4𝑥 +4𝑦 𝑑𝑦=0 Hacemos 𝑓 𝑥 =3 𝑥 2 𝑦 4 +4𝑦 𝑴(𝒙,𝒚) N(𝒙,𝒚) ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

4 𝑥 3 𝑦 3 +4𝑥+ 𝑔 / 𝑦 =4 𝑥 3 𝑦 3 +4𝑥+4𝑦 𝑑𝑓 = 3 𝑥 2 𝑦 4 +4𝑦 𝑑𝑥 +𝑔(𝑦) 2. Integramos con respecto a x. 𝑑𝑓 = 3 𝑥 2 𝑦 4 +4𝑦 𝑑𝑥 +𝑔(𝑦) 𝑓(𝑥,𝑦)= 3 𝑥 2 𝑦 4 𝑑𝑥 + 4𝑦𝑑𝑥 +𝑔(𝑦) 𝑓(𝑥,𝑦)= 𝑦 4 3 𝑥 2 𝑑𝑥 +4𝑦 𝑑𝑥 +𝑔(𝑦) 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥 3 𝑦 4 +4𝑥𝑦+𝑔(𝑦) 3. El resultado anterior lo derivamos con respecto a y e igualamos a N(x,y) 4 𝑥 3 𝑦 3 +4𝑥+ 𝑔 / 𝑦 =4 𝑥 3 𝑦 3 +4𝑥+4𝑦 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

Integrando con respecto a y 𝑔 𝑦 = 4𝑦𝑑𝑦 =2 𝑦 2 Simplificando 𝑔 / 𝑦 =4𝑦 Integrando con respecto a y 𝑔 𝑦 = 4𝑦𝑑𝑦 =2 𝑦 2 La solución es: 𝐶= 𝑥 3 𝑦 4 +4𝑥𝑦+2 𝑦 2 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

SOLUCIONAR 1. Hacemos 𝜕𝑓 𝜕𝑥 =2𝑥 𝑦 2 +𝑦 𝑒 𝑥 2. Integramos con respecto a x. 𝑑𝑓 = 2𝑥 𝑦 2 +𝑦 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 +𝑔(𝑦) 𝑓 𝑥,𝑦 = 2𝑥 𝑦 2 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑔(𝑦) ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑦 2 2𝑥𝑑𝑥 +𝑦 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑔(𝑦) 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥 2 𝑦 2 +𝑦 𝑒 𝑥 +𝑔(𝑦) 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑦 2 2𝑥𝑑𝑥 +𝑦 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑔(𝑦) 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥 2 𝑦 2 +𝑦 𝑒 𝑥 +𝑔(𝑦) 3. Derivamos con respecto a y 2 𝑥 2 𝑦+ 𝑒 𝑥 + 𝑔 / 𝑦 =2 𝑥 2 𝑦+ 𝑒 𝑥 −1 𝑔 / 𝑦 =−1 4. Integrando con respecto a y 𝑔 𝑦 =− 𝑑𝑦 =−𝑦 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

La solución es 𝑥 2 𝑦 2 +𝑦 𝑒 𝑥 −𝑦=𝐶 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

ACTIVIDAD Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales exactas 4𝑥 𝑦 2 +12 𝑥 2 𝑦 4 −5 𝑑𝑥+ 4 𝑥 2 𝑦+16 𝑥 3 𝑦 3 +8 𝑑𝑦=0 4𝑥𝑦+16 𝑥 3 𝑦 2 −5 𝑑𝑥+ 2 𝑥 2 +8 𝑥 4 𝑦+5 𝑑𝑦=0 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

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Otra forma de solución es Buscar parejas de diferenciales que sean la diferencial de un termino Ejemplo solucionar Eliminamos signos de agrupación 2𝑥 𝑦 2 +4𝑦 𝑑𝑥+ 2 𝑥 2 𝑦+4𝑥 𝑑𝑦=0 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

Se derivó una constante 2𝑥 𝑦 2 𝑑𝑥+4𝑦𝑑𝑥+2 𝑥 2 𝑦𝑑𝑦+4𝑥𝑑𝑦=0 Agrupamos el primer con el tercer termino, y el segundo con el cuarto 2𝑥 𝑦 2 𝑑𝑥+2 𝑥 2 𝑦𝑑𝑦 + 4𝑦𝑑𝑥+4𝑥𝑑𝑦 =0 Se derivó una constante Se derivó con respecto a x, la contante es 𝑦 Se derivó con respecto a x, la contante es 𝑥 Se derivó con respecto a x, la contante es 𝑦 2 Se derivó con respecto a y, la contante es 𝑥 2 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

𝑑 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑑 4𝑥𝑦 = 𝑑 𝐶 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠: 𝑥 2 𝑦 2 +4𝑥𝑦=𝐶 Con los términos constantes de cada diferencial, se forma el termino que buscamos al cual se le calculo el diferencial total 2𝑥 𝑦 2 𝑑𝑥+2 𝑥 2 𝑦𝑑𝑦 + 4𝑦𝑑𝑥+4𝑥𝑑𝑦 =0 𝑑 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑑 4𝑥𝑦 = 𝑑 𝐶 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠: 𝑥 2 𝑦 2 +4𝑥𝑦=𝐶 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

Solucionar 4𝑥𝑦+𝑦𝐶𝑜𝑠(𝑥𝑦))𝑑𝑥+( 2 𝑥 2 +𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑥𝑦) 𝑑𝑦=0 8𝑥 𝑦 2 +6𝑦 𝑒 2𝑥𝑦 +6 𝑑𝑥+ 8 𝑥 2 𝑦+6𝑥 𝑒 2𝑥𝑦 −8 𝑑𝑦=0 2𝑦 𝑒 2𝑥𝑦 −4𝑦𝑆𝑒𝑛(4𝑥𝑦 −6𝑥)𝑑𝑥+ 2𝑥 𝑒 2𝑥𝑦 −4𝑥𝑆𝑒𝑛 4𝑥𝑦 +2𝑦 𝑑𝑦=0 6𝑥𝑦+4 𝑦 2 +2𝑦 𝑑𝑥+ 3 𝑥 2 +8𝑥𝑦+2𝑥 𝑑𝑦=0 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

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