Apuntes 2º Bachillerato C.T. PARÁMETROS TEMA 11.2 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

CONTINUIDAD DE FUNCIONES Una función y=f(x) se dice que es continua en un punto x=a, cuando se cumplen tres condiciones: 1) Existe la función en ese punto, existe f(a). Es decir, ‘a’ forma parte del dominio de la función. 2) Existe el límite de la función en dicho punto, lím f(x) xa Si la función en dicho punto está troceada, el límite por la derecha debe coincidir con el límite por la izquierda para que exista dicho límite. 3) El valor de la función en dicho punto coincide con el límite: f(a) = lím f(x) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_7 Hallar a y b de modo que la siguiente función sea continua en todo R. a.(x – 1)2 , si x ≤ 0  Función cuadrática f(x) = sen (b+x) , si 0 < x < π  Función trigonométrica π/x , si x ≥ π  Función de proporcionalidad inversa SOLUCIÓN A la izquierda de x=0 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x = 0 ( función trigonométrica) es continua (función seno). Miramos si es continua en el punto x=0 1) f(0) = a.(0–1)2 = a.1 = a Es decir, x=0 es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = a.(0–1)2 = a.1 = a Lím f(x) = sen (b+0) = sen b x0- x0+ Para que exista límite en x = 0  a = sen b. 3) f(0) = lím f(x)  a = sen b x0 La función será continua en x=0 si a= sen b @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. … EJEMPLO_7 SOLUCIÓN A la izquierda de x= π ( función trigonométrica ) es continua (función seno). A la derecha de x = π ( función de p. inversa) es continua, pues x <> 0. Miramos si es continua en el punto x= π 1) f(π) = π / π = 1 Es decir, x= π es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = sen (π + b) Lím f(x) = π / π = 1 x π- x π+ Para que exista límite en x = π  sen (π + b) = 1 3) f(π) = lím f(x)  sen (π + b) = 1  π + b = π/2 + 2.k.π x π La función será continua en x= π si b = – π/2 + 2.k.π Se deben cumplir pues: a= sen b b = – π/2 + 2.k.π Es decir: a = sen (– π/2) = – 1  b = arc sen (– 1) = 3.π/2 + 2.k.π @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_8 Determinar los valores de a y b para que la función sea continua en R , si x < 0 f(x) = 6, si x = 0 sen x 3.a. -------- + b.(x – 1) , si x > 0 x A la izquierda de x=0 es continua. A la derecha de x=0 es continua. Miramos si es continua en el punto x=0 1) f(0) = 6. Es decir, x=0 no es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = a.1 + b Lím f(x) = 3.a + b.(– 1) = 3.a – b x0- x0+ Para que halla límite en x=0 se debe cumplir: a.1 + b = 3.a – b 3) f(0) = lím f(x)  se deberá cumplir: 6 = a + b = 3.a – b x0 La función en x=0 será continua si a = 3 , b = 3. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_9 Estudiar la continuidad de la función para los distintos valores del parámetro real k. ex f(x) = ----------- x2 + k Miramos si es continua en el punto x=k 1) ek f(k) = ----------- , vemos que k = {-1,0} no forma parte del dominio. k2 + k 2) ex ek ek Lím f(x) = ----------- = ---------- = ------------- x  k x2 + k k2 + k k.(k + 1) Para k >0 la función es continua en todo R. Para k ≤ 0 presenta discontinuidades asintóticas en todos los puntos tales que: x2 + k = 0  x2 = – k  x = ±√ (– k) Es decir, presenta infinitos puntos de discontinuidad (salto infinito). @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.