Escogencia y Maximización de la Utilidad 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014

Objetivo La escogencia entre paquetes de bienes dependerá de dos cosas. (1) de las preferencias y (2) de lo que podamos costear En el capitulo anterior estudiamos el método para representar las preferencias del consumidor (1) En este capítulo analizaremos lo que podemos costear (2) y como (1) y (2) se combinan para estudiar la escogencia entre paquetes de bienes 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014

La Restricción Presupuestaria ¿ Que paquetes de bienes (𝑥,𝑦) puede un individuo costear con Bs. 𝐼 y precios ( 𝑝𝑥 , 𝑝𝑦) independientes de la cantidad comprada? Aquellos para los cuales: 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦 ≤𝐼 Resolvemos para y 𝑦= 𝐼 𝑝 𝑦 − 𝑝 𝑥 𝑝 𝑦 𝑥 Vemos que es una línea recta con pendiente negativa e igual a − 𝑝 𝑥 𝑝 𝑦 Si 𝑥=0, 𝑦= 𝐼 𝑝 𝑦 y si 𝑦=0, 𝑥= 𝐼 𝑝 𝑥 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014

La Restricción Presupuestaria ¿ Si el Ingreso (𝐼) cambia la Restricción Presupuestaria se desplaza de forma paralela, dado que la pendiente (razón de precios) no ha cambiado La Restricción presupuestaria es la línea roja El individuo puede costear tanto los paquetes que se encuentran sobre la línea, como aquellos que están en el triangulo sombreado Cantidad de Y Si todo el ingreso se gasta en y Este es el monto de y que se adquiere 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦 ≤𝐼 La pendiente de la línea roja es - 𝑝 𝑥 𝑝 𝑦 Si todo el Ingreso se gasta en x Este es el monto de x que se adquiere Cantidad de X 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014

Combinando Escogencias con Presupuesto Asumimos que los consumidores maximizaran la utilidad entre los paquetes de bienes que pueden costear Regresamos a las Curvas de Indiferencia Recordemos que si la TMS es estrictamente decreciente, las CI son convexas Usando un Grafico, estudiemos la maximización de la utilidad ( con curvas de indiferencia convexas) sujeta a una restricción presupuestaria del consumidor 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014

Combinando Escogencias con Presupuesto Añadimos el Mapa de Indiferencia del Individuo a la Restricción Presupuestaria, para mostrar el Proceso de Maximización de Utilidad Cantidad de Y El Individuo no puede consumir C con su Ingreso Actual A C El Individuo puede mejorar su posición de A redistribuyendo su presupuesto B U3 U2 B es el punto de Maximización de Utilidad U1 Cantidad de X 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014

Escogencia Optima cuando la TMS es decreciente La Utilidad se maximiza donde la Curva de Indiferencia es tangente a la Restricción Presupuestaria Cantidad de Y Pendiente de la Restricción Presupuestaria: - 𝑝 𝑥 𝑝 𝑦 = Razón de Precios Pendiente de la Curva de Indiferencia: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 U=Const = TMS 𝑝 𝑥 𝑝 𝑦 =− 𝑑𝑦 𝑑𝑥 U=Const B Condición de Tangencia U2 Cantidad de X 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014

¿Qué se encuentra detrás de la Condición de Tangencia? Escogencia Optima cuando la TMS es decreciente A la igualdad entre la TMS y la Razón de Precios la llamamos la Condición de Tangencia La condición de tangencia es una condición suficiente para que un paquete de bienes sea una escogencia optima cuando la TMS es estrictamente decreciente ¿Qué se encuentra detrás de la Condición de Tangencia? 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014

Un simple ejemplo numérico Asumamos que la TMS de un individuo es 1 Esta dispuesto a cambiar una unidad de 𝑥 por una de 𝑦 Supongamos que el Precio de x es de Bs. 2 y el Precio de y es de Bs. 1; La Razón de Precios es 2 o lo que es lo mismo en el mercado se cambia 1 unidad de 𝑥 por 2 de 𝑦 El individuo puede mejorar su situación, cambiando y 1 unidad de x por 2 de y, en el mercado; por lo tanto, un paquete NUNCA SERA optimo si la TMS es distinta a la Razón de Precios 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014

La Condición de Tangencia matemáticamente: Las Matemáticas de una TMS estrictamente decreciente La Condición de Tangencia matemáticamente: El objetivo del individuo es maximizar: 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑=𝑈 𝑥, 𝑦 Sujeto a la siguiente restricción presupuestaria: 𝐼= 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦 Establecemos el Lagrange: 𝐿=𝑈 𝑥,𝑦 −𝜆 𝐼− 𝑝 𝑥 𝑥− 𝑝 𝑦 𝑦 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014

Derivando parcialmente 𝐿, obtenemos las Condiciones de Primer Orden: Las Matemáticas de una TMS estrictamente decreciente Derivando parcialmente 𝐿, obtenemos las Condiciones de Primer Orden: 𝜕𝐿 𝜕𝑥 = 𝜕𝑈 𝜕𝑥 −𝜆 𝑝 𝑥 =0 𝜕𝐿 𝜕𝑦 = 𝜕𝑈 𝜕𝑦 −𝜆 𝑝 𝑦 =0 𝜕𝐿 𝜕𝜆 =𝐼− 𝑝 𝑥 𝑥− 𝑝 𝑦 𝑦=0 (1) (2) (3) 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014

Implicaciones de las Condiciones de Primer Orden Para cualesquiera dos bienes: 𝜕𝑈 𝜕𝑥 𝜕𝑈 𝜕𝑦 = 𝑝 𝑥 𝑝 𝑦 Esto implica que en el punto optimo de asignación del Ingreso (Condición de Tangencia) 𝑇𝑀𝑆 (𝑑𝑒 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑦) = 𝑝 𝑥 𝑝 𝑦 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014

Interpretando el Multiplicador de Lagrange 𝜆= 𝜕𝑈 𝜕𝑎 𝑝 𝑎 = 𝜕𝑈 𝜕𝑏 𝑝 𝑏 =.. 𝜕𝑧 𝑧 𝑝 𝑧 𝜆= 𝑈𝑚 𝑎 𝑝 𝑎 = 𝑈𝑚 𝑏 𝑝 𝑏 =.. 𝑈𝑚 𝑧 𝑝 𝑧 En la asignación optima, cada bien comprado rinde la misma Utilidad Marginal por Bolívar gastado Por lo tanto todos los bienes deben tener una razón de Um a Precio idéntica Si bienes diferentes tuviesen diferentes razones Um/P, se podría reasignar el consumo entre los bienes y aumentar la utilidad, por lo tanto no se habría maximizado la utilidad 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014

Interpretando el Multiplicador de Lagrange Asuma que el precio del bien 𝑥 es de Bs. 1. Si el consumidor tuviese 1 bolívar adicional, eso le permitiría comprar una unidad adicional de 𝑥. Entonces tendríamos que: 𝜆= 𝑈𝑚 𝑥 𝑝 𝑥 = 𝑈𝑚 𝑥 1 = 𝑈𝑚 𝑥 Así que 𝜆 puede interpretarse como la utilidad adicional (utilidad marginal) que el consumidor puede ganar con 1 Bolívar adicional, es decir la Utilidad Marginal del Ingreso 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014

Escogencia Optima cuando la TMS es Estrictamente Decreciente Habíamos dicho que “ Verificar la condición de tangencia era condición suficiente para que un paquete de bienes sea una escogencia optima, cuando la TMS es decreciente” De manera que no es una condición necesaria Esto significa que un paquete puede ser una escogencia optima pero no cumplir con la condición de tangencia aunque la TMS sea decreciente Esto sucede debido a las “soluciones esquina” Solución esquina: Cuando el consumo de al menos un bien del paquete es cero Solución Interior: Cuando el consumo de los dos bienes del paquete es positivo 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014

Soluciones Esquina En algunas situaciones las escogencias de los individuos pueden ser tales, que maximizan la utilidad escogiendo consumir uno solo de los bienes En el Punto A, la curva de Indiferencia NO ES tangente a la Línea de Presupuesto Cantidad de Y U1 U2 U3 La Utilidad se maximiza en A A Cantidad de X 10. Escogencia y Utilidad Septiembre 2014