Las Matemáticas: Herramienta fundamental en el Análisis Económico Profesor: Max Garza Valle Alumno: Manuel Vélez Gallardo ITESM Noviembre 2005.

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1 Las Matemáticas: Herramienta fundamental en el Análisis Económico Profesor: Max Garza Valle Alumno: Manuel Vélez Gallardo ITESM Noviembre 2005

2 Antecedentes  Economía como ciencia: siglo XVIII  Aplicación matemática: fines de siglo XIX  Apéndices matemáticos: Libros de Microeconomía. Textos de Economía Ambiental. Comercio Internacional. Economía Administrativa. Política Pública Economía del Bienestar, etc.

3 Usos específicos  Funciones Lineales y No Lineales  Cálculo Diferencial e Integral  Interpretación de Gráficas. Diagramas de Dispersión.  Elasticidades  Relaciones de productividad, rendimientos y costos.  Utilidad, Producción y Mercados.  Multiplicador de Lagrange  Matrices

4 Funciones  Desde antes del siglo XX y en el XXI, se ha graficado la demanda y la oferta con la variable independiente en el eje Y. P Q En Economía, la variable independiente es el precio. Aún cuando con este diseño no se distorsiona la información.

5 Pendiente de una Recta Y = a + mx; en Economía P = 12 + (-1)q; m = -1 la pendiente =-1 ó -1/2 la pendiente =-1 ó -1/2 Para la Oferta (roja) = 1 P = 12 + (-1/2)q; m= -1/2 P Q 12 P Q 6

6 Pendiente en una Curva  En este caso, para encontrar la pendiente en un punto, trazamos la tangente en ese punto y calculamos la pendiente de la recta. P Q 50 10 b La pendiente de la curva en el punto b es igual a -1/5, que se obtiene de la pendiente de la recta.

7 Posibilidades de Producción  De acuerdo con la Ley de Rendimientos Decrecientes o Costos Crecientes de David Ricardo A B 1 2 3 4 5 200 La gráfica ilustra que, al pasar del punto A al B, las variaciones de A son cada vez mayores, lo cual se interpreta como costos crecientes del producto B en términos de A. Costo de Oportunidad

8 Elasticidades  Usando el término de pendiente podemos comprender los conceptos de elasticidad de la demanda. P Q 60 12 Elasticidad Precio-Demanda Mide la sensibilidad de la cantidad demandada ante variaciones del precio.

9 Elasticidades Para P = 12; la E d = ∞…¿Por qué? Para P = 6; la E d = -1 …¿Por qué? Para P = 0; la E d = 0 …¿Por qué? P Q 60B 12A ∞∞∞ Si volvemos a la grafica anterior y consideramos el término P/Q (que es un elemento de la fórmula de E d ) observamos que para el punto A, P =12, la Q = 0; y al dividir P/Q, el cociente es ∞, y ∞*®=∞ 0, y 0®=0 Similarmente para el punto B, ahora P = 0 y el cociente de P/Q = 0, y 0®=0

10 Elasticidades  De igual manera la economía se interesa en la elasticidad cruzada y la elasticidad ingreso, donde la variable precio del bien X se sustituye por el precio de otro bien Y (elasticidad cruzada) y el Ingreso (elasticidad ingreso).

11 Producción  En economía se analiza el tema de producción con funciones de tercer grado que nos muestran diferentes rendimientos de un factor variable (Trabajo L). –Crecientes –Constantes –Decrecientes

12 Producción  Q = 80L + 240L 2 – 4L 3 Q = unidades producidas L = cantidad de trabajo  En todo proceso productivo de corto plazo, al mantener un factor fijo (K), e ir agregando unidades del factor variable (L) para cierto nivel de Q, aparecen los rendimientos marginales y absolutos decrecientes.

13 Producción  Todo proceso productivo se caracteriza por revelar tres etapas de rendimientos: –Rendimientos Crecientes: La producción aumenta en mayor proporción que el trabajo. El ∆Q > ∆L –Rendimientos Constantes: El ∆Q = ∆L –Rendimientos Decrecientes: El ∆Q < ∆L  Entonces se utiliza el cálculo diferencial y las segundas derivadas, para encontrar los puntos máximos:

14 Producción  PMg = ∆Q/∆L = dQ / dL  PMe = Q/L  Usando estos dos conceptos que gráficamente se representan con funciones que en un principio crecen y después disminuyen; son importantes para determinar los límites de las etapas, en su puntos máximos.

15 Producción  Q = 20L + 60L 2 – L 3  PMe = 20 + 60L – L 2  PMg = 20 + 120L – 3L 2  El PMg es máximo cuando su derivada = 0; 120 – 6L = 0; L = 20.  El PMe es máximo cuando su derivada es 0; 60 – 2L = 0; L = 30. (fin de etapa 1)  Q es máxima cuando L = 40. PMg=0, (que es el fin de la segunda etapa).  Para L > 40; los rendimientos de la producción son absolutamente decrecientes. Es ineficiente o irracional.

16 Teoría de la Demanda  Utilidad Total = U = f (x,y) = 20  Utilidad Marginal de X, UMgX = ∆U/∆Q x  Utilidad Marginal de Y, UMgY = ∆U/∆Q y  Principio de Utilidad Marginal Decreciente: Al consumir un bien a medida que es mayor la cantidad consumida, es menor la utilidad que brinda una unidad adicional.

17 Curvas de Indiferencia U = 20 U = 40 U = 60 U = 80 X Y El consumidor es indiferente ante cualquier combinación de bienes representados en una curva (hipérbola rectangular). A medida que la curva se aleja del origen, aumenta la satisfacción.

18 Optimización  El consumidor maximiza su utilidad cuando la pendiente de una curva es igual a su recta de presupuesto.  Ingreso = XP x + YP y  Ejemplo: I = 240; P x = 40; P y = 20 X = I/P x ; Y = I/P y

19 Recta de Presupuesto  El consumidor puede maximizar el nivel de utilidad, en cualquier punto de su recta de presupuesto. I/py I/px Y Y X

20 Optimización  El consumidor maximiza su utilidad cuando la pendiente de la recta de presupuesto es igual a la pendiente de una curva de indiferencia.  La TMS xy = UMgX / UMgY  La pendiente de la recta es: P x /P y  Optimización: UMgX / UMgY = P x /P y (pendiente de las curvas)

21 Optimización de la Utilidad U = 20 U = 40 U = 60 U = 80 X Y

22 Optimización de la Utilidad  El consumidor siempre desea ubicarse en la curva de indiferencia de mayor nivel. Pero su ingreso y los precios de los bienes que adquiere, le restringen su nivel d utilidad.  TMSxy = UMx/UMy = Px/py

23 Multiplicadores Lagrange  Los multiplicadores Lagrange son muy utilizados para maximizar funciones de utilidad y de producción. Se resuelven las primeras dos ecuaciones y se sustituye en la tercera, para encontrar las cantidades óptimas de K y de L.

24 Optimización de Utilidad  De manera similar podemos maximizar una función de utilidad usando Lagrange: Se resuelven las primeras dos ecuaciones y se sustituye en la tercera, para encontrar las cantidades óptimas de X y de Y.

25 Matrices y Álgebra Lineal  Es muy utilizado el sistema de matrices, y los sistemas Hegelianos y Hesianos, para comprobar la existencia de convexidad o concavidad en las funciones de utilidad y producción. Ello permite comprobar si se cumplen las condiciones necesarias y de suficiencia en la optimización.

26 Conclusiones  Las Matemáticas son fundamentales para desarrollar el razonamiento del estudiante y resolver problemas de economía con rapidez y exactitud.  La competitividad y habilidad de todo profesionista se incrementa con un mayor conocimiento de métodos cuantitativos.

27 Conclusiones  Se necesita de habilidad y cierta imaginación para trasladar los conocimientos matemáticos, a la solución de problemas económicos.  Se facilita la comprensión de un modelo económico al utilizar las herramientas matemáticas, la lógica y representaciones gráficas.  Sólo es cuestión de usarlas de manera adecuada, lógica y eficiente.  Por lo tanto es necesario aprenderlas, recordarlas y usarlas siempre que sea necesario.