 y, para

q.e.d. cte  0 Continuación demostración

Cálculo y demostraciones relativas a la “derivada direccional”,, se facilitan introduciendo el concepto de “vector gradiente” ( ) ( ) CONCLUSIÓN: ( : versor de dirección ) Teo 3 ( versor de dirección ) =  x y =

Campos Escalares P : R 2  R (x;y)  u = P (x; y) Q : R 2  R (x;y)  v = Q (x;y) CAMPO VECTORIAL : R 2  R 2 (x;y)  (x; y) = ( P (x; y); Q (x;y) ) Con P y Q  Campos Escalares R2R2 x y f : R 2  R  f f PQ uv R2R2 u v (u; v)  los “campos escalares componentes” son las “derivadas parciales”

 x y RESUMEN:



b)

f : R 2  R ; P o (x o ;y o )  R 2 Derivada direccional de f en P o ( x o ;y o ), en la dirección de  D ū f ( x o ;y o ) xoxo yoyo

es    

   

(40; 30) =  a partir de (40; 30) y en la dirección del gradiente la temperatura aumenta, aprox., a razón de 0.34 ºC por unidad de distancia e igual a:

P Q  f (P)

curvas de nivel P Q C2C2 “curvas de nivel” del campo f (x; y) = x. e y  CURVAS de NIVEL: C k = { (x; y)  R 2 / f (x; y) = k } C k = { (x; y)  R 2 / x. e y = k }  para k > 0 y x > 0 C k = { (x; y)  R 2 / y = - ln x + ln k }  para k = 2  C 2 C 2 = { (x; y)  R 2 / y = - ln x + ln 2 }  P (2;0)  C 2 ¿¿  f (P)  P (2;0) ?? ¿¿  f (P)  C 2 ??  f (P)  C 2   f (P)  tg a C 2 en P En lo que sigue nos ocupamos de resolver este problema. Para ello necesitamos unos resultado previos.

REGLA DE LA CADENA : g : R 2  R ; h : R  R ( x;y )  z = g ( x;y ) z  u = h (z) f (x; y) = h o g ( x; y )  f : R 2  R (x;y)  u = h o g ( x;y ) h ´ ( g ( x;y ) ). h ´ ( g ( x;y ) ). ( x;y ) Z = g ( x;y ) u=h (z) g h f u= h (z) = sen z g (x; y) = u = h o g (x;y) f = h o g

z´ (t o ) = + z´ (t o ) = z = f ( x ; y )  (x; y) z f h t R R R2R2 z = f ( ) DERIVADA de  “REGLA de la CADENA” f o z = f o z = h ( t ) h : R  R x = x(t) ; y = y(t) t Existen otras formas de “escribir” la “regla de la cadena”, formas que “facilitan” el hecho de recordarla.

Si T = f ( x ; y ) ; ecuación vectorial de una curva C T = f o   T = f (x; y) = 100 – x 2 – 4 y 2. T Un “alienígena” inicialmente parado en la plancha en el punto A (5; 0) comienza a moverse sobre la misma según la curva C de ecuación : t ; 0 ) ; t  0 Se pide: a) Hallar ; interpretar físicamente el resultado. b) Calcular ; interpretar físicamente el resultado. T = f o 5) ( 5) T = f o 0) ( 0) (t en minutos)

Si z = f ( x ; y ) ; ecuación vectorial de una curva C z = f o si z = f (x; y) = 100 – x 2 – 4 y 2 describe una “montaña” entonces “ z ” da la “altura” respecto al nivel del mar de los puntos de la montaña. Se pide: a) Hallar ; interpretar físicamente el resultado. b) Calcular ; interpretar físicamente el resultado. z = f o 0) ( 0 ) z = f o t) t) ( t) representa la “ altura ” respecto al nivel del mar de Q( x;y; z )  la “altura”  representa la “altura” respecto al nivel del mar de los puntos de C. Un “turista” que sobre la montaña está a 84 mts del nivel del mar, encuentra un senderos que decide recorrer. Si la ecuación que (sobre la base de la montaña) describe el sendero C, es (4 cos t, 2 sen t ) ; t  0 (t en minutos)

 f (P) curvas de nivel P Q C2C2 “curvas de nivel” del campo f (x; y) = x. e y  f (P)  C 2   f (P)  tg a C 2 en P Tenemos ya las herramientas, (sabemos derivar composición de campo escalar con función vectorial) entonces…. manos a la obra. ¿¿  f (P)  C 2 ?? Habíamos dejado en suspenso la resolución de este problema pues nos faltaban herramientas teóricas para analizarlo.

RECUERDOS: “CURVA de NIVEL = C k ” ; f : D  R ; D  R 2 ; graf f = S C = S  π ( z = k )  C k = “proyección” sobre π x y de C C k = { P (x; y)  D / f (x ; y) = k }  π x y 20 π) z = 20 S C 20 = { P / f = 20 } C C 20 : C 20 f (P) = 20 ( ) C 20 = { P / f = 20 } ( ) h (t) = f ( ) h (t) = f o P (x; y) P = x; y

π) z=k  f ( x ; y ) z = f (x;y)  S = graf f C k = { P / f = k } P CkCk ( f o ) ´ (t) = 0 C k = { P / f o = k } P ( x ; y ) Q ( x; y ; k ) z = f ( x ; y) = k  ) x z CkCk Ck:Ck: P CkP Ck = OP x Regla de la Cadena

 C k  curva de nivel que pasa por P ( x; y )  : z = k Q ( x ;y ; k)  f ( x ; y ) P ( x ; y) CkCk  r´ (t)  finalmente tenemos que: “en P, el crecimiento más rápido de la función se da en una dirección perpendicular a la curva de nivel que pasa por P ”.   C k

 : z = k Q ( x o ;y o ; k)  f ( x o ; y o ) P(xo;yo) P(xo;yo) CkCk r´ (t o ) Derivada “a lo largo de una curva de nivel”. Llamamos derivada “a lo largo de una curva de nivel” a la “ derivada direccional en un punto de la curva de nivel y en la dirección del vector tangente a la curva en ese punto”. 0 si u o = r´(t o ) Finalmente tenemos que: la derivada “a lo largo de una curva de nivel” es cero.