PPTCEG028EM32-A15V1 EM-32 Teorema de Euclides

Resumen de la clase anterior B CB AC = m n D BD AD División de un segmento División interior División exterior División armónica Teorema de Thales C D F E A B L1 L2 L3 AB AC = DE DF BC EF L1 // L2 // L3 b u a v Teorema de la bisectriz

Aprendizajes esperados Aplicar el teorema de Euclides en el triángulo rectángulo en la resolución de ejercicios. Analizar la proporcionalidad de trazos en el triángulo rectángulo y la semejanza de triángulos en el triángulo rectángulo.

Pregunta oficial PSU Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2013.

1. Teorema de Euclides

1. Teorema de Euclides Definición Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces se cumple que el producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa es igual a la altura (hc) al cuadrado. p: proyección del cateto AC sobre la hipotenusa q: proyección del cateto BC sobre la hipotenusa ∙ hc2 = p q Además, se cumple que: a2 = c q ∙ hc c = a·b b2 = c p ∙

1. Teorema de Euclides Ejemplo: De acuerdo a la figura, ¿cuál es el valor de CD y AC? Aplicando Teorema de Euclides: CD2 = AD ∙ DB ∙ (Reemplazando) AC2 = AB ∙ AD (Reemplazando) CD2 = 4 3 ∙ (Aplicando raíz) AC2 = 7 4 ∙ (Aplicando raíz) CD = AC = CD =

1. Teorema de Euclides Ejemplo: En el triángulo ABC de la figura, AB = 15 cm y DB = 6 cm. ¿Cuánto mide la altura CD? Si la hipotenusa AB = 15 cm, entonces AD = AB – DB = 9 cm. 6 9 Aplicando el teorema de Euclides: CD2 = AD · DB CD2 = 9 · 6 CD = 54 (Descomponiendo la raíz) CD = 3 6 cm

1. Teorema de Euclides Ejemplo: En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura, AC = 5 10 cm y AD = 5 cm. ¿cuál es la medida del segmento DB? A B C D Aplicando teorema de Euclides: AC 2 = AD  AB (Reemplazando) (5 10 )2 = 5  AB (Desarrollando las potencias) 25  10 = 5  AB (Multiplicando) 250 = 5  AB (Despejando AB ) 50 cm = AB Luego, AB = AD + DB 50 = 5 + DB 45 cm = DB

Pregunta PSU En el triángulo ABC de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) CD = 24 II) BC = 84 III) AC = 112 C B A 6 8 D A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

Pregunta PSU Resolución: El triángulo ABC es rectángulo en C y el trazo CD es altura. Analizando las afirmaciones: I) Falsa, ya que al aplicar el teorema de Euclides: C B A 6 8 D CD 2 = BD  DA (Reemplazando) CD 2 = 6  8 (Multiplicando) CD 2 = 48 (Aplicando raíz cuadrada) CD = 48 (Descomponiendo la raíz) CD = 4 3

Pregunta PSU II) Verdadera, ya que al aplicar el teorema de Euclides: BC 2 = BA  BD (Reemplazando) C B A 6 8 D BC 2 = 14  6 (Multiplicando) BC 2 = 84 (Aplicando raíz cuadrada) BC = 84 III) Verdadera, ya que al aplicar el teorema de Euclides: AC 2 = AB  AD (Reemplazando) AC 2 = 14  8 (Multiplicando) AC 2 = 112 (Aplicando raíz cuadrada) AC = 112 Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.

D Pregunta PSU Habilidad: ASE En el triángulo ABC de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) CD = 24 II) BC = 84 III) AC = 112 C B A 6 8 D A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III D Habilidad: ASE

Pregunta oficial PSU ALTERNATIVA CORRECTA B Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2013.

Geometría de proporción Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 C Geometría de proporción Aplicación 2 3 4 5 A 6 D ASE 7 8 B 9 10 11 12

Geometría de proporción Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 E Geometría de proporción Aplicación 14 D 15 ASE 16 A 17 18 19 20 21 22 23 C 24 25

Síntesis de la clase Teorema de Euclides hc2 = p · q a2 = q · c b2 = p · c hc = a ∙ b c

Prepara tu próxima clase En la próxima sesión, estudiaremos Teoremas de proporcionalidad en la circunferencia

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